Integrale indefinito

[domenico-fiamma-8]

Ciao ragazzi, ho questo integrale definito e mi sono fermato ad un punto :

$int ( 1 + (tgx)^2 ) / ( (senx)^2 - (cosx)^2 )$. Risolvendo tramite le parametriche sono arrivato a questo punto :

$int ( 1 + t^2) / ( t^2 -1)$. Con $t = tgx$

Non so come andare oltre : potreste darmi una mano?

[Oiram92]

La funzione integranda può essere riscritta come :

\(\displaystyle f(t) = \frac{1+t^2}{t^2-1} = \frac{1+t^2}{(t-1)(t+1)} = 1 + \frac{A}{t-1} + \frac{B}{t+1} \)

ricavando la decomposizione in fratti semplici dovresti essere in grado di saper continuare no?

[domenico-fiamma-8]

"Oiram92":La funzione integranda può essere riscritta come :

\(\displaystyle f(t) = \frac{1+t^2}{t^2-1} = \frac{1+t^2}{(t-1)(t+1)} = 1 + \frac{A}{t-1} + \frac{B}{t+1} \)

ricavando la decomposizione in fratti semplici dovresti essere in grado di saper continuare no?

Scusa, puoi controllare per favore se fino a $ (1+(tgx)^2) / ( (tgx)^2 -1)$ se ho fatto giusto?
Perchè ho risolto come hai fatto tu e mi viene $int 1 - int 1/ (t+1) + 1/(t-1)$ che non corrisponde alla soluzione

Anzi scusa, probabilmente ho fatto bene solo che non so come sviluppare gli ultimi 2 integrali

[Oiram92]

Scusa per il ritardo nella risposta ma poi ieri ho staccato e non ho seguito più la discussione. Effettivamente non ho controllato se avessi effettuato correttamente la sostituzione ed infatti è lì che hai sbagliato (e non me ne sono accorto). Dunque :

\(\displaystyle \int \frac{1+tan(x)^2}{tan(x)^2-1} dx \)

quando sostituisci \(\displaystyle t = tan(x) \) non tieni conto del fatto che \(\displaystyle dt = cos(x)^{-2} dx \) per questo poi arriviamo ad un integrale (banale che si risolve con gli integrali notevoli) e che non è la soluzione corretta dell'esercizio.

Secondo me la soluzione migliore potrebbe essere quella di riscrivere la \(\displaystyle tan(x) \) come rapporto tra seno e coseno ed utilizzare un pò di relazioni importanti (formule di duplicazione,ecc..) in modo da raggiungere un forma più "semplice". Inizia a sviluppare la tangente e vediamo "cosa esce fuori"