Integrale indefinito

[zerbo1000]

Ciao ragazzi!

qualcuno conosce qualche "scorciatoia",qualche sostituzione "furba", per questo indefinito

$int1/(x^2-1)^3$

per non dover applicare la scomposizione in frazioni parziali?

thanks!!

[Lo_zio_Tom]

faccio finta di non averlo visto.....è uguale all'altro di stamattina...

[zerbo1000]

mmh, il fatto che ci fosse il cubo mi ha indotto a pensare che la sostituzione da te consigliata per il quadrato,quella di oggi, non valesse, ora ci ragiono un pò...

[Lo_zio_Tom]

se poni

$t=(x-1)/(x+1) rarr x=(1+t)/(1-t) rarr dx= (2dt)/(1-t)^2$

l'integrale ti diventa

$1/32int(1-t)^4/t^3dt$

ovvero somma di integrali immediati

[zerbo1000]

grazie tommik, è più di un consiglio, è un metodo!

[Lo_zio_Tom]

vale per tutti gli esponenti (interi) del binomio....ora prova a farlo quando c'è il più...

$int1/(x^2+1)^2dx$

[zerbo1000]

finisco quello che ho sotto e inizio

[zerbo1000]

col $+$ bisogna usare la scomposizione per i complessi, invece che $A$ uso $Ax+B$

Right??

[Lo_zio_Tom]

Io conosco almeno altre due strade....quella che hai detto tu non so

[Lo_zio_Tom]

$ int1/(x^2+1) ^2dx=int1/(x^2+1) 1/(x^2+1) dx $

$ int1/(x^2+1) d (arctanx)=int cos^2 (arctanx) d (arctanx) $

$ intcos^2 (t) dt $

[Lo_zio_Tom]

Altro metodo:

$ int1/(x^2+1)^2dx= int (x^2+1-x^2)/(x^2+1)^2dx $

Scomponi in due....il primo è immediato (arctan) mentre il secondo per parti

[zerbo1000]

bellissimo, ora me lo studio,

quello che dicevo io è:
esempio:

$int(1+t^4-2t^2)/(t(1+t^2)^2)=intA/t+(Bt+C)/(1+t^2)+(Dt+E)/(1+t^2)^2$

[zerbo1000]

"tommik":$ int1/(x^2+1) ^2dx=int1/(x^2+1) 1/(x^2+1) dx $

$ int1/(x^2+1) d (arctanx)=int cos^2 (arctanx) d (arctanx) $

$ intcos^2 (t) dt $

puoi spiegarmi un pò meglio che genere di sostituzione hai fatto?

[zerbo1000]

non avrei potuto fare$ int1/(x^2+1) ^2dx=int1/(x^2+1) 1/(x^2+1) dx $

$ int( d (arctanx))^2 $?

[Lo_zio_Tom]

Sì ma poi come lo risolvi?

Io sfrutto il fatto che

$ cos (arctan x )=1/sqrt (1+x^2)$

Quindi pongo $ t=arctan x $

E mi basta risolvere $ intcos^2 (t) dt $

[Lo_zio_Tom]

A conti fatti viene

$1/2arctanx+1/2x/(x^2+1)+c $

[zerbo1000]

"tommik":

$ cos (arctan x )=1/sqrt (1+x^2)$

Perché?

[Lo_zio_Tom]

È trigonometria

[zerbo1000]

mi sfugge a cosa è uguale l'arcotangente

[Lo_zio_Tom]

Basta vedere che

$1/cos^2x=tan^2x+1$

$ cos^2x=1/(tan^2x+1) $

Se poni $ t =tanx$

Hai dimostrato ciò che ti serve

[zerbo1000]

non avevo colto il primo passaggio, grazie tommik!!