Integrale indefinito

[zerbo1000]

Ciao ragazzi!

qualcuno conosce qualche "scorciatoia",qualche sostituzione "furba", per questo indefinito

$int1/(x^2-1)^3$

per non dover applicare la scomposizione in frazioni parziali?

thanks!!

[Lo_zio_Tom]

Prova anche l'altro metodo [per parti] che è interessante. ..

[Lo_zio_Tom]

Sto scrivendo col cellulare e faccio un po' fatica a mettere tutti i passaggi

[Lo_zio_Tom]

dunque la soluzione per parti è la seguente:


$int1/(x^2+1)^2dx=int(x^2+1-x^2)/(x^2+1)^2dx=int1/(x^2+1)dx-int(x^2)/(x^2+1)^2dx=$

$=arctanx-intx\cdotx/(x^2+1)^2dx=arctanx+x/(2(x^2+1))-1/2int1/(x^2+1)dx=$

$1/2arctanx-x/(2(x^2+1))+c$

chiaro

EDIT: modificato refuso di stampa

[zerbo1000]

"tommik":dunque la soluzione per parti è la seguente:


$=arctanx+x/(2(x^2+1)^2)-1/2int1/(x^2+1)dx=$

non dovrebbe essere senza il quadrato fuori dalll integrale , cioè
$=arctanx+x/(2(x^2+1))-1/2int1/(x^2+1)dx=$

Ps: che tu sappai che un modo per colorare il testo mantenendo la scrittura la tex?

[Lo_zio_Tom]

"zerbo1000":
non dovrebbe essere senza il quadrato fuori dalll integrale , cioè
$=arctanx+x/(2(x^2+1))-1/2int1/(x^2+1)dx=$

certo!!! è stata una svista nel ricopiare i dati....grazie per la segnalazione

[zerbo1000]

grazie a te tommik!

[Lo_zio_Tom]

giusto per terminare il discorso su questi binomi....guardati questo (non penso tu lo debba saper risolvere....guardalo solo per curiosità)

viewtopic.php?f=36&t=146376&p=920108&hilit=modo+furbo#p919888

[zerbo1000]

é davvero molto interessante!!

ma devo dirti, la cosa che mi ha colpito di più è stata questo metodo!

"tommik":$ int1/(x^2+1) ^2dx=int1/(x^2+1) 1/(x^2+1) dx $

$ int1/(x^2+1) d (arctanx)=int cos^2 (arctanx) d (arctanx) $

$ intcos^2 (t) dt $

se avessi altri integrali, da risolvere con questo metodo, vorrei prenderci maestria con questo bellissimo metodo, mi affascina molto

peace

[Lo_zio_Tom]

non saprei....non faccio l'insegnante di mestiere e queste sono solo sporadiche riminiscenze di quando ero studente

Non uguale ma comunque sullo stesso concetto

viewtopic.php?f=36&t=146504&hilit=modo+furbo

[zerbo1000]

"tommik":questa è la mia proposta:

$ int_()^() sin^2x/(1+cos^2x) dx =int_()^() (1-cos^2x)/(1+cos^2x) dx=int_()^() (2/(1+cos^2x)-1)dx = $

$ =2int_()^() 1/(1+cos^2x)dx-x=2int_()^() 1/cos^2x/(1+1/cos^2x)dx-x= $

$ =2int_()^() 1/((1+tan^2x+1))1/cos^2xdx-x=2int_()^() 1/(2+tan^2x)dtanx-x= $


$ =sqrt(2)int_()^() 1/(1+(tanx/sqrt(2))^2)d(tanx/sqrt(2))-x=sqrt(2)arctan(tanx/sqrt(2))-x+C $

non capisco come si usa questo modo di sostituire, cambiando il $d$

esempio:

se ho $int sen^2x=int senxd(-cosx)$ come lo posso risolvere usando il tuo metodo?

(ho postato questa risposta anche nell altra discussione, avevo paura non la vedessi perche era vecchia )

[zerbo1000]

aspetta, è solo una sostituzione però al posto di ad esempio $f(x)=t$ scrivi $f(x)=g(x)$

fa una sostituzione dove invece che fare una funzione uguale a $t$ o $x$ o $u$ o $w$ sostituisci con una funzione ad un altra funzione?

[zerbo1000]

però se ci penso meglio non può essere cosi , perche allora qui avresti dovuto sostituire anche il termine che ho colorato $ =2int_()^() 1/((1+tan^2x+1))1/cos^2xdx-x=2int_()^() 1/(2+color{red}{tan^2x})dtanx-x= $
e invece è rimasto uguale, perche se sostituisci devi sostiture tutto