Integrale in campo complesso lungo una curva
Salve ragazzi, mi chiedevo se qualcuno potrebbe darmi qualche dritta su come svolgere questo integrale.
La funzione è:
\(\displaystyle f(z) = \frac{e^{(i-\frac{\sqrt 3}{3})z}}{\sqrt z} \)
Ho l'insieme del piano complesso:
\(\displaystyle \{ z: r \leq|z|\leq R ; 0 \leq arg(z) \leq \frac{\pi}{3} \} \)
Il segmento ha equazione:
\(\displaystyle z=te^{i \frac{\pi}{3}} = \frac{t(1+ i \sqrt 3)}{2} \)
Devo integrare lungo il segmento. Ho provato a fare
\(\displaystyle \int_{0}^{\pi / 3} f(\gamma(t))\gamma'(t)dt \)
ma proprio non riesco a risolverlo. Qualcuno potrebbe indicarmi la strada giusta?
La funzione è:
\(\displaystyle f(z) = \frac{e^{(i-\frac{\sqrt 3}{3})z}}{\sqrt z} \)
Ho l'insieme del piano complesso:
\(\displaystyle \{ z: r \leq|z|\leq R ; 0 \leq arg(z) \leq \frac{\pi}{3} \} \)
Il segmento ha equazione:
\(\displaystyle z=te^{i \frac{\pi}{3}} = \frac{t(1+ i \sqrt 3)}{2} \)
Devo integrare lungo il segmento. Ho provato a fare
\(\displaystyle \int_{0}^{\pi / 3} f(\gamma(t))\gamma'(t)dt \)
ma proprio non riesco a risolverlo. Qualcuno potrebbe indicarmi la strada giusta?
Risposte
Nessuno?
Sarebbe meglio chiarire la consegna. Non si comprende se:
1. Devi calcolare esplicitamente l'integrale lungo il segmento.
2. Devi calcolare implicitamente l'integrale lungo il segmento considerandolo un tratto della frontiera del primo insieme.
3. Devi calcolare l'integrale lungo la frontiera del primo insieme.
Mentre nei primi due casi è tutt'altro che banale, nel terzo è semplicemente nullo.
1. Devi calcolare esplicitamente l'integrale lungo il segmento.
2. Devi calcolare implicitamente l'integrale lungo il segmento considerandolo un tratto della frontiera del primo insieme.
3. Devi calcolare l'integrale lungo la frontiera del primo insieme.
Mentre nei primi due casi è tutt'altro che banale, nel terzo è semplicemente nullo.
Cito testualmente la traccia:
Si valuti il limite al tendere di r a zero e di R all'infinito di:
\(\displaystyle \int_{+\tau_{r,R}} f(z)dz \)
Il risultato fornito è
\(\displaystyle \frac{3^{\frac{1}{4}}\sqrt \pi}{\sqrt 2}e^{i \frac{\pi}{6}} \)
Si valuti il limite al tendere di r a zero e di R all'infinito di:
\(\displaystyle \int_{+\tau_{r,R}} f(z)dz \)
Il risultato fornito è
\(\displaystyle \frac{3^{\frac{1}{4}}\sqrt \pi}{\sqrt 2}e^{i \frac{\pi}{6}} \)
Buono a sapersi. E il pedice dell'integrale rappresenterebbe il segmento?
Esattamente
Bene. A questo punto, è doveroso almeno provarci.
A un certo punto mi trovo:
\(\displaystyle \int_{0}^{+infinito} {e^{\frac{\sqrt 3}{3}t^2}}cos(t^2)dt \)
ma non so svolgerlo.
\(\displaystyle \int_{0}^{+infinito} {e^{\frac{\sqrt 3}{3}t^2}}cos(t^2)dt \)
ma non so svolgerlo.
Come arrivo a tale integrale:
Faccio la somma dei vari integrali lungo la frontiera, il risultato è 0 dato che all'interno non vi sono singolarità.
I due integrali lungo gli archi di circonferenze sono uguali a 0 per i teoremi del piccolo e del grande cerchio.
Rimangono:
\(\displaystyle e^{i \frac{\pi}{3}} \int_{r}^{R} f(z)dz + \int_{r}^{R} f(x)dx = 0\)
Al secondo integrale ho la parte reale di \(\displaystyle \int_{r}^{R} f(z)dz \), ponendo \(\displaystyle x=t^2 \) mi trovo quello che ho scritto, ma non so andare avanti. Suggerimenti?
Faccio la somma dei vari integrali lungo la frontiera, il risultato è 0 dato che all'interno non vi sono singolarità.
I due integrali lungo gli archi di circonferenze sono uguali a 0 per i teoremi del piccolo e del grande cerchio.
Rimangono:
\(\displaystyle e^{i \frac{\pi}{3}} \int_{r}^{R} f(z)dz + \int_{r}^{R} f(x)dx = 0\)
Al secondo integrale ho la parte reale di \(\displaystyle \int_{r}^{R} f(z)dz \), ponendo \(\displaystyle x=t^2 \) mi trovo quello che ho scritto, ma non so andare avanti. Suggerimenti?
Molto più semplice di quello che si potesse immaginare. Insomma, puoi valutarlo esplicitamente considerando che:
$[z=te^(i\pi/3)] rarr [e^((i-sqrt3/3)z)/sqrtz=e^(-(2sqrt3)/3t)/(e^(i\pi/6)sqrtt)]$
Basta notare che, nel prodotto $(i-sqrt3/3)z$, il primo fattore ha argomento $2/3\pi$ e il secondo argomento $1/3\pi$. Ergo, il suo risultato, avendo argomento $\pi$, giace sul semiasse reale negativo. Ovviamente, al medesimo risultato si poteva arrivare eseguendo i calcoli in forma algebrica. Tuttavia, senza questa premessa, meno naturalmente si sarebbe individuata la strategia adeguata. Quindi, integrando per sostituzione, puoi ricondurti a:
$\int_0^(+oo)e^(-x^2)dx=sqrt\pi/2$
Infatti:
$\int_\gammae^((i-sqrt3/3)z)/sqrtzdz=\int_0^(+oo)e^(-(2sqrt3)/3t)/(e^(i\pi/6)sqrtt)e^(i\pi/3)dt=e^(i\pi/6)\int_0^(+oo)e^(-(2sqrt3)/3t)/sqrttdt$
$[(2sqrt3)/3t=x^2] rarr [e^(i\pi/6)\int_0^(+oo)e^(-(2sqrt3)/3t)/sqrttdt=3^(1/4)sqrt2e^(i\pi/6)\int_0^(+oo)e^(-x^2)dx=(3^(1/4)sqrt\pi)/sqrt2e^(i\pi/6)]$
$[z=te^(i\pi/3)] rarr [e^((i-sqrt3/3)z)/sqrtz=e^(-(2sqrt3)/3t)/(e^(i\pi/6)sqrtt)]$
Basta notare che, nel prodotto $(i-sqrt3/3)z$, il primo fattore ha argomento $2/3\pi$ e il secondo argomento $1/3\pi$. Ergo, il suo risultato, avendo argomento $\pi$, giace sul semiasse reale negativo. Ovviamente, al medesimo risultato si poteva arrivare eseguendo i calcoli in forma algebrica. Tuttavia, senza questa premessa, meno naturalmente si sarebbe individuata la strategia adeguata. Quindi, integrando per sostituzione, puoi ricondurti a:
$\int_0^(+oo)e^(-x^2)dx=sqrt\pi/2$
Infatti:
$\int_\gammae^((i-sqrt3/3)z)/sqrtzdz=\int_0^(+oo)e^(-(2sqrt3)/3t)/(e^(i\pi/6)sqrtt)e^(i\pi/3)dt=e^(i\pi/6)\int_0^(+oo)e^(-(2sqrt3)/3t)/sqrttdt$
$[(2sqrt3)/3t=x^2] rarr [e^(i\pi/6)\int_0^(+oo)e^(-(2sqrt3)/3t)/sqrttdt=3^(1/4)sqrt2e^(i\pi/6)\int_0^(+oo)e^(-x^2)dx=(3^(1/4)sqrt\pi)/sqrt2e^(i\pi/6)]$
Grandissimo grazie ho capito, comincio a comprendere quali sono i meccanismi da applicare.
Un'ultima domanda per vedere se ho capito, l'esercizio successivo dice "Dedurre dall'esercizio precedente il valore di \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-\frac{x \sqrt 3}{3}}sinx}{\sqrt x}dx \)"
Trasformo il seno con le formule di Eulero, spezzo l'integrale e applico lo stesso procedimento (sostituzione)?
Un'ultima domanda per vedere se ho capito, l'esercizio successivo dice "Dedurre dall'esercizio precedente il valore di \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-\frac{x \sqrt 3}{3}}sinx}{\sqrt x}dx \)"
Trasformo il seno con le formule di Eulero, spezzo l'integrale e applico lo stesso procedimento (sostituzione)?
Dovresti procedere con un po' più di cautela. Se si riuscisse a integrare esplicitamente lungo il semiasse positivo delle ascisse, in un colpo solo si potrebbero ricavare i due integrali seguenti:
$[\int_0^(+oo)(e^(-sqrt3/3x)cosx)/sqrtxdx] ^^ [\int_0^(+oo)(e^(-sqrt3/3x)sinx)/sqrtxdx]$
Infatti:
$\int_0^(+oo)e^((i-sqrt3/3)x)/sqrtxdx=\int_0^(+oo)(e^(-sqrt3/3x)cosx)/sqrtxdx+i\int_0^(+oo)(e^(-sqrt3/3x)sinx)/sqrtxdx$
Proprio chiudendo il percorso come hai descritto in uno dei tuoi messaggi precedenti:
$\int_0^(+oo)(e^(-sqrt3/3x)cosx)/sqrtxdx+i\int_0^(+oo)(e^(-sqrt3/3x)sinx)/sqrtxdx=(3^(1/4)sqrt\pi)/sqrt2e^(i\pi/6)$
Insomma, basta considerare la parte immaginaria del risultato precedente.
$[\int_0^(+oo)(e^(-sqrt3/3x)cosx)/sqrtxdx] ^^ [\int_0^(+oo)(e^(-sqrt3/3x)sinx)/sqrtxdx]$
Infatti:
$\int_0^(+oo)e^((i-sqrt3/3)x)/sqrtxdx=\int_0^(+oo)(e^(-sqrt3/3x)cosx)/sqrtxdx+i\int_0^(+oo)(e^(-sqrt3/3x)sinx)/sqrtxdx$
Proprio chiudendo il percorso come hai descritto in uno dei tuoi messaggi precedenti:
$\int_0^(+oo)(e^(-sqrt3/3x)cosx)/sqrtxdx+i\int_0^(+oo)(e^(-sqrt3/3x)sinx)/sqrtxdx=(3^(1/4)sqrt\pi)/sqrt2e^(i\pi/6)$
Insomma, basta considerare la parte immaginaria del risultato precedente.
Grazie di cuore dell'aiuto 
Paradossalmente all'esame ho fatto bene gli integrali ma ho sbagliato gli esercizi che reputavo più semplci a causa di banali errori di calcolo xD
Paradossalmente all'esame ho fatto bene gli integrali ma ho sbagliato gli esercizi che reputavo più semplci a causa di banali errori di calcolo xD
Peccato. Andrà sicuramente meglio la prossima volta. In bocca al lupo!
P.S.
Magari l'hai passato lo stesso.
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Magari l'hai passato lo stesso.
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