Integrale in campo complesso

[nostradamus1915]

Salve a tutti, devo svolgere il seguente integrale
\(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{sin(x)}{x^{\frac{1}{3}}} dx \)
Dunque, mi conviene fare (anche dietro suggerimento del libro) l'integrale
\(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{iz}}{z^{\frac{1}{3}}} dz \)
lungo la corona di circonferenza con \(\displaystyle r<|z| Così facendo, mi trovo:
\(\displaystyle \int_{r}^{R} \frac{cos(z)}{z^{\frac{1}{3}}}dz + \int_{-C_r}^{} f(z)dz + \int_{+C_R}^{} f(z)dz + \int_{ir}^{iR} \frac{sin(z)}{z^{\frac{1}{3}}} dz = 0 \)
Da qui mi trovo che gli integrali lungo gli archi di circonferenza sono nulli e non so come procedere. Suggerimenti?

[Studente Anonimo]

"anonymous_0b37e9":
Magari l'hai passato lo stesso.

Qualcosa mi dice che così non è stato: Indicando con $\Gamma(z)$ la funzione speciale Gamma di Eulero:

$[f(z)=e^(iz)/root(3)(z)] ^^ [\int_\gammaf(z)dz=0] rarr$

$rarr [lim_(r->0^+)lim_(R->+oo)\int_r^Re^(ix)/root(3)(x)dx-\int_(ir)^(iR)e^(iz)/root(3)(z)dz=0] rarr$

$rarr [lim_(r->0^+)lim_(R->+oo)\int_r^Re^(ix)/root(3)(x)dx-\int_r^Re^(-t)/root(3)(it)idt=0] rarr$

$rarr [lim_(r->0^+)lim_(R->+oo)\int_r^Re^(ix)/root(3)(x)dx-i^(2/3)\int_r^Re^(-t)t^(-1/3)dt=0] rarr$

$rarr [\int_0^(+oo)e^(ix)/root(3)(x)dx-i^(2/3)\Gamma(2/3)=0] rarr$

$rarr [\int_0^(+oo)cosx/root(3)(x)dx+i\int_0^(+oo)sinx/root(3)(x)dx=i^(2/3)\Gamma(2/3)] rarr$

$rarr [\int_0^(+oo)cosx/root(3)(x)dx+i\int_0^(+oo)sinx/root(3)(x)dx=1/2\Gamma(2/3)+isqrt3/2\Gamma(2/3)] rarr$

$rarr [\int_0^(+oo)cosx/root(3)(x)dx=1/2\Gamma(2/3)] ^^ [\int_0^(+oo)sinx/root(3)(x)dx=sqrt3/2\Gamma(2/3)]$

[nostradamus1915]

Qualcosa mi dice che così non è stato:

p.s.: Non ho capito solo perché il secondo integrale è negativo, non dovrebbe essere la somma degli integrali a dare 0?
p.p.s: Capito, è per il verso di percorrenza del segmento sull'asse delle ordinate.

Al prof si deve consegnare solo il risultato dei vari esercizi, se questo differisce anche di poco da quello corretto, l'esercizio non solo ti viene annullato ma ti toglie un punto. La cosa che mi fa rosicare è che l'integrale l'avevo fatto bene, per la maggior parte ho sbagliato piccole cose durante i procedimenti di alcuni esercizi
Comunque grazie per l'aiuto e per l'interessamento