Integrale in campo complesso
Premessa. Studio questa roba per un esame di Metodi Matematici per la Fisica, dunque la formalizzazione non è spinta come piace a voi matematici. 
Esercizio. Calcola, con il teorema di Cauchy e il teorema dei residui, assieme al lemma di Jordan, il seguente integrale
\[ I=\int_{0}^{+\infty} \frac{x\sin{\alpha x}}{1+x^2} dx\]
Svolgimento (con errori).
Ho scritto l'integrale come
\[ \oint_{\gamma} \frac{z\sin{\alpha z}}{1+z^2} dz\]
e, sostituendo al seno i rispettivi esponenziali
\[\frac{1}{2i} \left( \oint_{\gamma} \frac{e^{i\alpha z}}{1+z^2} dz - \oint_{\gamma} \frac{e^{-i\alpha z}}{1+z^2} dz \right)\]
con $\gamma$ modificato "tirando" in su l'asse $x$ per aggirare le singolarità, che sono \(\pm i\)
Per il lemma di Jordan, nel caso del primo integrale dovrei chiudere il circuito da sopra ma, così facendo, non racchiudo alcuna singolarità e dunque, per il teorema di Cauchy, l'integrale fa $0$.
Calcolando i residui dell'altro integrale, invece, ottengo
\[Res(i)=e^{\alpha}\]
\[Res(-i)=e^{-\alpha}\]
dunque l'integrale sembra valermi
\[I=\frac{\pi}{2}(e^{\alpha}+e^{-\alpha})\]
ma il testo mi dice che questo è sbagliato, poiché il primo contributo non dovrebbe esserci. Dove sbaglio?
Grazie a tutti.
Esercizio. Calcola, con il teorema di Cauchy e il teorema dei residui, assieme al lemma di Jordan, il seguente integrale
\[ I=\int_{0}^{+\infty} \frac{x\sin{\alpha x}}{1+x^2} dx\]
Svolgimento (con errori).
Ho scritto l'integrale come
\[ \oint_{\gamma} \frac{z\sin{\alpha z}}{1+z^2} dz\]
e, sostituendo al seno i rispettivi esponenziali
\[\frac{1}{2i} \left( \oint_{\gamma} \frac{e^{i\alpha z}}{1+z^2} dz - \oint_{\gamma} \frac{e^{-i\alpha z}}{1+z^2} dz \right)\]
con $\gamma$ modificato "tirando" in su l'asse $x$ per aggirare le singolarità, che sono \(\pm i\)
Per il lemma di Jordan, nel caso del primo integrale dovrei chiudere il circuito da sopra ma, così facendo, non racchiudo alcuna singolarità e dunque, per il teorema di Cauchy, l'integrale fa $0$.
Calcolando i residui dell'altro integrale, invece, ottengo
\[Res(i)=e^{\alpha}\]
\[Res(-i)=e^{-\alpha}\]
dunque l'integrale sembra valermi
\[I=\frac{\pi}{2}(e^{\alpha}+e^{-\alpha})\]
ma il testo mi dice che questo è sbagliato, poiché il primo contributo non dovrebbe esserci. Dove sbaglio?
Grazie a tutti.
Risposte
Se l'integrale e' il seguente...
$I= \int_{0}^{\infty} \frac{t\ \sin \alpha\ t}{1+t^{2}}\ dt$ (1)
... si vede subito che per $\alpha=0$ e' $I=0$ per cui il risultato da te ottenuto e' certamente errato. Secondo me prima di 'indagare' sul procedimento suggerito [teorema dei residui] e' opportuno trovare il 'valore giusto' dell'integrale. Cio' si puo' conseguire abbastanza agevolmente ricorrendo alla formula...
$F(s)= \mathcal {L} \{\frac{t}{1+t^{2}}\} = \sin s\ \{\frac{\pi}{2} - \text{Si} (s)\} + \cos s\ \text{Ci} (s)$ (2)
... da cui si ricava...
$I= - \text{Im} \{F(i\ \alpha)\} = \frac{\pi}{2}\ \sinh(\alpha)$ (3)
Appurato cio' [sempre che il risultato da me ottenuto sia esatto...] occorre per prima cosa domandarsi su quale percorso chiuso si calcola l'integrale in campo complesso e se devo essere sincero non mi e' del tutto chiaro quale sia quello da te usato...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
$I= \int_{0}^{\infty} \frac{t\ \sin \alpha\ t}{1+t^{2}}\ dt$ (1)
... si vede subito che per $\alpha=0$ e' $I=0$ per cui il risultato da te ottenuto e' certamente errato. Secondo me prima di 'indagare' sul procedimento suggerito [teorema dei residui] e' opportuno trovare il 'valore giusto' dell'integrale. Cio' si puo' conseguire abbastanza agevolmente ricorrendo alla formula...
$F(s)= \mathcal {L} \{\frac{t}{1+t^{2}}\} = \sin s\ \{\frac{\pi}{2} - \text{Si} (s)\} + \cos s\ \text{Ci} (s)$ (2)
... da cui si ricava...
$I= - \text{Im} \{F(i\ \alpha)\} = \frac{\pi}{2}\ \sinh(\alpha)$ (3)
Appurato cio' [sempre che il risultato da me ottenuto sia esatto...] occorre per prima cosa domandarsi su quale percorso chiuso si calcola l'integrale in campo complesso e se devo essere sincero non mi e' del tutto chiaro quale sia quello da te usato...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
Il testo dice che $I=\pi/2 e^(-\alpha)$.
Ed è $\alpha>0$.
Ed è $\alpha>0$.
Supponiamo allora per un momento che il testo non dia la soluzione e vediamo di procedere autonomamente... quale percorso si sceglie per il calcolo dell'integrale?...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
Pensavo di usare un cammino $\gamma$ che aggirasse, da sopra, le singolarità...
Puoi spiegarmi meglio questa
e questa
?
"giuliofis":
con $\gamma$ modificato "tirando" in su l'asse $x$ per aggirare le singolarità, che sono \(\pm i\)
e questa
"giuliofis":
Per il lemma di Jordan, nel caso del primo integrale dovrei chiudere il circuito da sopra ma, così facendo, non racchiudo alcuna singolarità
?
Mi dispiace immensamente per lo schifo di immagini...
Tento uno schizzo con GIMP. Scusatemi lo schifo, spero di rendere l'idea...
Allora in tutti i disegni gli assi sono quello reale e quello immaginario, ovviamente, indicati in nero. In blu il circuito che percorro nell'integrale per aggirare le singolarità (in rosso).
[/URL]
Adesso, per il primo integrale applico il lemma di Jordan e, poiché nell'esponenziale $\alpha$ (ovvero il coefficiente che moltiplica $z$) è positivo, chiudo il circuito da sopra. Ma così facendo non racchiudo alcuna singolarità e quindi, per il teorema di Cauchy, l'integrale è $0$.
[/url]
Per il secondo integrale, invece, sempre per Jordan, chiudo il circuito da sotto ($\alpha<0$)racchiudendo entrambe le singolarità (e, poiché il verso di percorrenza tiene il dominio a destra, cambio di segno). Applicherei il teorema dei residui...
Uploaded with ImageShack.us
Tento uno schizzo con GIMP. Scusatemi lo schifo, spero di rendere l'idea...
Allora in tutti i disegni gli assi sono quello reale e quello immaginario, ovviamente, indicati in nero. In blu il circuito che percorro nell'integrale per aggirare le singolarità (in rosso).
[/URL]
Adesso, per il primo integrale applico il lemma di Jordan e, poiché nell'esponenziale $\alpha$ (ovvero il coefficiente che moltiplica $z$) è positivo, chiudo il circuito da sopra. Ma così facendo non racchiudo alcuna singolarità e quindi, per il teorema di Cauchy, l'integrale è $0$.
[/url]
Per il secondo integrale, invece, sempre per Jordan, chiudo il circuito da sotto ($\alpha<0$)racchiudendo entrambe le singolarità (e, poiché il verso di percorrenza tiene il dominio a destra, cambio di segno). Applicherei il teorema dei residui...
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Ti perdoniamo solamente perché usi software Open Source: good boy 
Ma non puoi fare così, perché in quel modo non vai mai a calcolare l'integrale che davvero ti serve, cioè l'integrale da \(0\) a \(+\infty\)!
Evita il trucco [sbagliato] di raggirare la singolarità e passa dritto sull'asse reale, tanto i due residui li devi calcolare lo stesso!
A quel punto, scrivi gli integrali con una notazione decente, indicando BENE i vari domini di integrazione e spezzandoli tra quando cammini sulla retta reale e quando vai a zonzo per \(\mathbb C\) [questi ultimi sono quelli che poi butti via grazie a Jordan] e guarda BENE quali pezzi ti rimangono, e come sono collegati al pezzo che davvero ti serve.
Magari scrivi qualche conto, mentre fai questo.
Ma non puoi fare così, perché in quel modo non vai mai a calcolare l'integrale che davvero ti serve, cioè l'integrale da \(0\) a \(+\infty\)!
Evita il trucco [sbagliato] di raggirare la singolarità e passa dritto sull'asse reale, tanto i due residui li devi calcolare lo stesso!
A quel punto, scrivi gli integrali con una notazione decente, indicando BENE i vari domini di integrazione e spezzandoli tra quando cammini sulla retta reale e quando vai a zonzo per \(\mathbb C\) [questi ultimi sono quelli che poi butti via grazie a Jordan] e guarda BENE quali pezzi ti rimangono, e come sono collegati al pezzo che davvero ti serve.
Magari scrivi qualche conto, mentre fai questo.
"Raptorista":
Ti perdoniamo solamente perché usi software Open Source: good boy
Ma non puoi fare così, perché in quel modo non vai mai a calcolare l'integrale che davvero ti serve, cioè l'integrale da \(0\) a \(+\infty\)!
Evita il trucco [sbagliato] di raggirare la singolarità e passa dritto sull'asse reale, tanto i due residui li devi calcolare lo stesso!
A quel punto, scrivi gli integrali con una notazione decente, indicando BENE i vari domini di integrazione e spezzandoli tra quando cammini sulla retta reale e quando vai a zonzo per \(\mathbb C\) [questi ultimi sono quelli che poi butti via grazie a Jordan] e guarda BENE quali pezzi ti rimangono, e come sono collegati al pezzo che davvero ti serve.
Magari scrivi qualche conto, mentre fai questo.
Ok, grazie, domani pomeriggio proverò!
Ho pensato che, essendo la mia funzione pari, posso scrivere
\[ I=\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x\sin{\alpha x}}{1+x^2} dx\]
e, passando in campo complesso attraverso l'asse reale come suggerito da Raprorista con la stessa terminologia dei vecchi post (se non è chiaro farò dei disegni domani), ottengo che (spezzando il seno negli esponenziali:
i) Per il primo, applico Jordan, chiudo da sopra ed incontro solo la singolarità $i$ con $Res(i)=(e^(-\alpha))/2$.
i) Per il secondo, applico Jordan, chiudo da sotto ed incontro solo una singolarità $-i$ con $Res(-i)=(-e^(-\alpha))/2$. Dovrò cambiare segno per via del verso di percorrenza orario.
Dunque ottengo che
\[I=\frac{1}{2} 2\pi i \frac{1}{2i} \left[\frac{e^{-\alpha}}{2}-\frac{-e^{-\alpha}}{2}\right]=\frac{\pi}{2} e^{-\alpha}\]
È corretto, ora?
[ot]Uso solo software open, compreso il SO. Sono un convinto sostenitore di questa "causa"![/ot]
\[ I=\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x\sin{\alpha x}}{1+x^2} dx\]
e, passando in campo complesso attraverso l'asse reale come suggerito da Raprorista con la stessa terminologia dei vecchi post (se non è chiaro farò dei disegni domani), ottengo che (spezzando il seno negli esponenziali:
i) Per il primo, applico Jordan, chiudo da sopra ed incontro solo la singolarità $i$ con $Res(i)=(e^(-\alpha))/2$.
i) Per il secondo, applico Jordan, chiudo da sotto ed incontro solo una singolarità $-i$ con $Res(-i)=(-e^(-\alpha))/2$. Dovrò cambiare segno per via del verso di percorrenza orario.
Dunque ottengo che
\[I=\frac{1}{2} 2\pi i \frac{1}{2i} \left[\frac{e^{-\alpha}}{2}-\frac{-e^{-\alpha}}{2}\right]=\frac{\pi}{2} e^{-\alpha}\]
È corretto, ora?
[ot]Uso solo software open, compreso il SO. Sono un convinto sostenitore di questa "causa"![/ot]
Il procedimento mi sembra corretto; se il risultato torna, sei a posto.
"Raptorista":
Il procedimento mi sembra corretto; se il risultato torna, sei a posto.
Il risultato torna, ma non si sa mai... Come diceva la mia prof delle medie: "Non è che torna, l'hai fatto tornare!"
Grazie mille della conferma.Comunque, pur avendo risolto questo integrale non ho risolto il problema, poiché il giochino di estendere la funzione a tutto l'asse reale non potrei farlo, ad esempio, in (inventato, dunque non ho il risultato!)
\[J=\int_{0}^{+\infty} \frac{x \cos{\alpha x}}{1+x^2}dx.\]
In questo caso, scriverei (con $\gamma$ semiasse reale positivo)
\[J=\frac{1}{2} \left[ \int_{\gamma} \frac{e^{i\alpha z}}{1+z^2}dz + \int_{\gamma} \frac{e^{-i\alpha z}}{1+z^2}dz\right]\]
con singolarità in \(\pm i\) fuori dal cammino di integrazione. Ma non so come andare avanti...
Raptorista?
Non te l'hanno detto che questo è un forum di volontari??
E poi, se mi forzi a scrivere probabilmente scriverò stupidaggini XD
Così su due piedi ti direi che non sempre l'integrale si può calcolare [bella scoperta] e che in questo caso non saprei come venirne fuori.
Inoltre, il giochino che stai facendo [\(\gamma\) semiasse positivo & singolarità escluse] non mi sembra lecito...
E poi, se mi forzi a scrivere probabilmente scriverò stupidaggini XD
Così su due piedi ti direi che non sempre l'integrale si può calcolare [bella scoperta] e che in questo caso non saprei come venirne fuori.
Inoltre, il giochino che stai facendo [\(\gamma\) semiasse positivo & singolarità escluse] non mi sembra lecito...
"Raptorista":
Non te l'hanno detto che questo è un forum di volontari??
Volevo "uppare" senza scrivere "up".
"Raptorista":
Così su due piedi ti direi che non sempre l'integrale si può calcolare [bella scoperta] e che in questo caso non saprei come venirne fuori.
Ok, ho capito!
Grazie mille.
Comunque, non prendere la mia risposta come definitiva: l'esame di analisi 3 lo sto facendo in questo semestre; l'analisi complessa l'abbiamo già finita, ma non ho ancora studiato per bene tutto quanto 
"Raptorista":
Comunque, non prendere la mia risposta come definitiva: l'esame di analisi 3 lo sto facendo in questo semestre; l'analisi complessa l'abbiamo già finita, ma non ho ancora studiato per bene tutto quanto
Certo, ma io sto studiando per Metodi Matematici della Fisica, ed ho fatto appena otto ore di lezione sull'analisi complessa (più otto di esercitazione), dunque si fanno cose base, senza formalizzazione eccessiva eccetera eccetera... Insomma, il giusto indispensabile per la Fisica!
Per te sarebbe una passeggiata il mio esame, dunque mi fido abbastanza.
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