Integrale improprio (studiare la convergenza)
Salve, volevo chiedere al forum un dubbio riguardo questo esercizio, dove mi viene chiesto di studiare la convergenza del seguente integrale:
\[ \int_0^\infty \frac{1}{\sqrt{x+x^3}}\ \text{d} x \]
Io di solito prima mi calcolo l'integrale e poi faccio il limite che tende a $ \+\infty$, ma qui mi trovo in difficoltà nel calcolarmi l'integrale. Poi mi viene chiesto di studiare la funzione integrale:
\[ F(x) = \int_x^{2x} \frac{1}{\sqrt{t+t^3}}\ \text{d} x \]
che non sono riuscito a capire, anche perchè è una conseguenza della prima parte dell'esercizio.
Ringrazio chiunque mi dia delle spiegazioni
\[ \int_0^\infty \frac{1}{\sqrt{x+x^3}}\ \text{d} x \]
Io di solito prima mi calcolo l'integrale e poi faccio il limite che tende a $ \+\infty$, ma qui mi trovo in difficoltà nel calcolarmi l'integrale. Poi mi viene chiesto di studiare la funzione integrale:
\[ F(x) = \int_x^{2x} \frac{1}{\sqrt{t+t^3}}\ \text{d} x \]
che non sono riuscito a capire, anche perchè è una conseguenza della prima parte dell'esercizio.
Ringrazio chiunque mi dia delle spiegazioni
Risposte
in questo caso la primitiva (se è calcolabile) non è facile da calcolare, quindi la cosa più semplice è usare gli asintotici e il criterio del confronto
all'infinito la funzione integranda è asintotica a $1/x^(3/2)$ quindi l'integrale converge perchè $3/2>1$, in modo analogo puoi vedere se converge nell'origine
all'infinito la funzione integranda è asintotica a $1/x^(3/2)$ quindi l'integrale converge perchè $3/2>1$, in modo analogo puoi vedere se converge nell'origine
grazie mille, sei stato molto chiaro; mentre secondo te, la seconda parte dell'esercizio cosa vuole sapere?
Ciao,e benvenuto su questo Forum.
Quella funzione integranda è asintoticamente equivalente alla $f(x)=x^(-3/2)$:
facci sapere che succede,a studiare il comportamento dell'integrale imprioprio che ha quest'ultima per integranda(chiaramente tenendo conto del fatto che essa mantiene ancora,nell'estremo inferiore d'integrazione,una discontinuità..),
che per quella funzione integrale un pò "anomala" se ne riparla dopo
(perchè forse devi cambiare strategia dato che quì,a procedere tramite la "forza bruta",la vedo dura,
in quanto $int 1/(sqrt(t^3+t)) dt$ non mi pare sia elementarmente calcolabile..):
saluti dal web.
Quella funzione integranda è asintoticamente equivalente alla $f(x)=x^(-3/2)$:
facci sapere che succede,a studiare il comportamento dell'integrale imprioprio che ha quest'ultima per integranda(chiaramente tenendo conto del fatto che essa mantiene ancora,nell'estremo inferiore d'integrazione,una discontinuità..),
che per quella funzione integrale un pò "anomala" se ne riparla dopo
(perchè forse devi cambiare strategia dato che quì,a procedere tramite la "forza bruta",la vedo dura,
in quanto $int 1/(sqrt(t^3+t)) dt$ non mi pare sia elementarmente calcolabile..):
saluti dal web.
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