Integrale improprio o generalizzato
Salve a tutti, scrivo per chiedere il vostro aiuto sulla risoluzione di questo esercizio, mi vengono chieste le seguenti cose:
1) calcolare l'integrale dopo aver verificato che esiste
$ \int _2^{+\infty }\frac{1}{x^3+x^2}\ $
il problema non sta nel calcolarlo,ma in che modo si verifica l'esistenza prima di calcolarlo ?
grazie in anticipo
1) calcolare l'integrale dopo aver verificato che esiste
$ \int _2^{+\infty }\frac{1}{x^3+x^2}\ $
il problema non sta nel calcolarlo,ma in che modo si verifica l'esistenza prima di calcolarlo ?
grazie in anticipo
Risposte
Devi dimostrare che la funzione è integrabile [ma questo è ovvio] e che il valore dell'integrale sia finito.
"Raptorista":
Devi dimostrare che la funzione è integrabile [ma questo è ovvio] e che il valore dell'integrale sia finito.
saresti gentile da spiegarmelo per cortesia? grazie mille
Scusate se mi intrometto ma sono schiffarato e almeno mi passo il tempo 
Intanto dimostrare la convergenza dell'integrale è particolarmente semplice. Basta notare che:
ho messo solo l'intervallo di interesse, puoi verificarlo facilmente. Inolte la funzione è positiva in tutto quell'intervallo, quindi possiamo affermare abbastanza felicemente che:
ora quell'integrale è particolarmente semplice da calcolare(in particolare converge) e infatti:
quindi l'integrale deve convergere e in particolare deve converge in un valore $Ain[0,1/2]$ che comunque già è una buona stima, vista che è un intervallo abbastanza piccolo.
per il calcolo basta ricordare che $1/(x*x(x+1))=A/x+B/x^2+C/(x+1)$ per mezzo di Hermite.
non resta che calcolare l'integrale che ne deriva dalla scomposizione
Ah quasi dimenticavo. Per l'integrabilità basta far notare che se $f$ è continua su $[2,+infty)$ allora $f$ è integrabile su $[2,+infty)$ poiché continuità $=>$ integrabilità.
beh considerando che la funzione è continua su tutto $RR-{-1,0}$, sicuramente è continua su $RRcap[2,+infty)$, dunque è integrabile.
Intanto dimostrare la convergenza dell'integrale è particolarmente semplice. Basta notare che:
$1/(x^3+x^2)=1/(x^2(x+1))leq1/x^2,forallx inRRcap[2,+infty)$
ho messo solo l'intervallo di interesse, puoi verificarlo facilmente. Inolte la funzione è positiva in tutto quell'intervallo, quindi possiamo affermare abbastanza felicemente che:
$0leqint_(2)^(+infty)1/(x^2(x+1))dxleqint_(2)^(+infty)1/x^2dx$
ora quell'integrale è particolarmente semplice da calcolare(in particolare converge) e infatti:
$int_(2)^(+infty)1/x^2dx=[-1/x]_(2)^(+infty)=1/2$
dunque
$0leqint_(2)^(+infty)1/(x^2(x+1))dxleq1/2$
dunque
$0leqint_(2)^(+infty)1/(x^2(x+1))dxleq1/2$
quindi l'integrale deve convergere e in particolare deve converge in un valore $Ain[0,1/2]$ che comunque già è una buona stima, vista che è un intervallo abbastanza piccolo.
per il calcolo basta ricordare che $1/(x*x(x+1))=A/x+B/x^2+C/(x+1)$ per mezzo di Hermite.
$(Ax(x+1)+B(x+1)+Cx^2)/(x^3+x^2)=(x^2(A+C)+x(B+A)+B)/(x^3+x^2)$
${(B=1),(A+C=0),(A+B=0):}=>{(B=1),(A=-1),(C=1):}$
${(B=1),(A+C=0),(A+B=0):}=>{(B=1),(A=-1),(C=1):}$
non resta che calcolare l'integrale che ne deriva dalla scomposizione
$int_(2)^(+infty)[1/x^2-1/x+1/(x+1)]dx=[-1/x+ln(x+1)-ln(x)]_(2)^(+infty)$
$[ln((x+1)/x)-1/x]_(2)^(+infty)=[0-0-(ln(3/2)-1/2)]=1/2-ln(3/2)$
$[ln((x+1)/x)-1/x]_(2)^(+infty)=[0-0-(ln(3/2)-1/2)]=1/2-ln(3/2)$
Ah quasi dimenticavo. Per l'integrabilità basta far notare che se $f$ è continua su $[2,+infty)$ allora $f$ è integrabile su $[2,+infty)$ poiché continuità $=>$ integrabilità.
beh considerando che la funzione è continua su tutto $RR-{-1,0}$, sicuramente è continua su $RRcap[2,+infty)$, dunque è integrabile.
"anto_zoolander":
Scusate se mi intrometto ma sono schiffarato e almeno mi passo il tempo
Hai tutto il diritto di combattere lo schiffaramento, tuttavia
"Regolamento":
1.2 Per aiuto reciproco si intende: discussioni e scambio di informazioni che hanno l'obiettivo di chiarire dubbi, lacune e difficoltà nello svolgimento di un esercizio o nello studio della teoria. Uno scambio di questo tipo arricchisce chi pone correttamente le domande perché può migliorare le sue conoscenze e arricchisce chi fornisce risposte e consigli perché ha modo di rafforzare le proprie conoscenze, valutare e migliorare la propria capacità di comunicare e insegnare. NON è da intendersi scambio culturale la semplice richiesta di risoluzione di un esercizio. Chi pone la domanda deve dimostrare lo sforzo che ha fatto per cercare di risolvere la difficoltà, indicare la strada che ha cercato di intraprendere e in ogni caso indicare aspetti specifici da chiarire.
Mmm pensavo di fare una cosa gradita. Spero almeno possa essergli utile 
[ot]Schiffarato???
What the hell does it mean?
[/ot]
What the hell does it mean?
[/ot]
[ot]Tradotto diventerebbe 'senza avere che fare'. È palermitano [/ot]
[/ot]
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