Integrale improprio Metodo dei Residui
Ciao a tutti, devo risolvere un integrale improprio con il metodo dei residui; la tecnica mi è abbastanza chiara e finora sono riuscito a fare tutti gli esercizi. Il problema mi è sorto con questo:
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{(a^2+b^2+z^2)(c^2+(d-z)^2+e^2)^{5/2}}dz\; ,
\]
con a, b, c, d, e costanti reali. Penso che il problema sia nel fatto che al denominatore ci sia una radice quadrata e non so bene come prendere il percorso d'integrazione e di conseguenza quali residui contano.
Qualcuno può aiutarmi? Grazie in anticipo.
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{(a^2+b^2+z^2)(c^2+(d-z)^2+e^2)^{5/2}}dz\; ,
\]
con a, b, c, d, e costanti reali. Penso che il problema sia nel fatto che al denominatore ci sia una radice quadrata e non so bene come prendere il percorso d'integrazione e di conseguenza quali residui contano.
Qualcuno può aiutarmi? Grazie in anticipo.
Risposte
up!
up
Quando ci sono le radici la questione diventa rompiscatole.
Innanzitutto, sai che una funzione radice \(\sqrt[n]{\cdot }\) è polidroma in \(\mathbb{C}\) e che ha esattamente \(n\) determinazioni olomorfe; inoltre, il punto \(0\) è un punto di diramazione per tali funzioni.
Quando si ha a che fare con una funzione del tipo \(\sqrt[n]{f(z)}\), con \(f\) olomorfa, essa ha punti di diramazione in tutti gli zeri di \(f\).
Nel tuo caso, la funzione \(g(z)=\sqrt{(c^2+e^2)+(d-z)^2}\) ha due punti di diramazione in corrispondenza dei due zeri della funzione polinomiale \(f(z)=(c^2+e^2)+(d-z)^2\), i quali sono:
\[
\zeta_{\pm} = d\pm \imath\ \sqrt{(c^2+e^2)}
\]
Tali punti vanno esclusi dalla regione d'integrazione, e ciò si può fare "aggirandoli" con opportuni archi di circonferenza ed usando i lemmi di Jordan.
Innanzitutto, sai che una funzione radice \(\sqrt[n]{\cdot }\) è polidroma in \(\mathbb{C}\) e che ha esattamente \(n\) determinazioni olomorfe; inoltre, il punto \(0\) è un punto di diramazione per tali funzioni.
Quando si ha a che fare con una funzione del tipo \(\sqrt[n]{f(z)}\), con \(f\) olomorfa, essa ha punti di diramazione in tutti gli zeri di \(f\).
Nel tuo caso, la funzione \(g(z)=\sqrt{(c^2+e^2)+(d-z)^2}\) ha due punti di diramazione in corrispondenza dei due zeri della funzione polinomiale \(f(z)=(c^2+e^2)+(d-z)^2\), i quali sono:
\[
\zeta_{\pm} = d\pm \imath\ \sqrt{(c^2+e^2)}
\]
Tali punti vanno esclusi dalla regione d'integrazione, e ciò si può fare "aggirandoli" con opportuni archi di circonferenza ed usando i lemmi di Jordan.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo