Integrale improprio in due variabili

Nick_931
Salve ragazzi =) potreste aiutarmi a risolvere alcuni dubbi circa gli integrali impropri? Faccio riferimento al seguente esercizio

Calcolare il seguente integrale improprio

[tex]\int_D (x^2+y^2)^{-\alpha}\,dx\,dy \qquad D=\{(x,y): x^2+y^2 \ge 1[/tex]
_________________________

Faccio un cambiamento di variabile per determinare se la funzione è integrabile, cioè

[tex]\int_C \rho^{-2 \alpha} \rho \,d\rho \,d\theta=\int_C \frac{1}{\rho^{2 \alpha -1}} \,d\rho \,d\theta[/tex]

quindi l'integrale esiste finito se

[tex]\alpha> \frac{3}{2}[/tex]

ora posso sempre utilizzare le coordinate polari in quanto il limite dell'integrale è indipendente dalla forma geometrica dell'intorno in cui mi muovo, sia nel caso in cui si serca la convergenza in un ponto di singolarità, sia nel caso in cui il dominio sia infinito

Ricapitolando: per verificare l'esistenza dell'integrale, riconducendomi a coordinate polari, o verifico direttamente, o trovo una funzione che maggiori il mio integrale per poi arrivare alla conclusione. Se esiste faccio il limite per trovare il valore dell'integrale improprio

Il ragionamento è esatto, e rimanendo in [tex]\mathbb{R}^2[/tex] posso agire sempre in questo modo?

Risposte
Raptorista1
Non sono d'accordo sul vincolo che hai messo su \(\alpha\)... :S
Secondo me puoi tirare un altro po' la corda senza che si spezzi :)

ciampax
@ Raptor: secondo me ha scritto la disequazione così $2\alpha-1>2$ e non così $2\alpha-1>1$. :D

Raptorista1
"ciampax":
@ Raptor: secondo me ha scritto la disequazione così $2\alpha-1>2$ e non così $2\alpha-1>1$. :D

Sure, infatti stavo giusto indagando per capire se è una svista o un buco nella teoria :)

Nick_931
Si in effetti ho fatto l'errore evidenziato da ciampax :-D vi ringrazio!

Ho un'altro esercizio su cui ho difficoltà in quanto ancora ci sono alcune cose che non mi sono molto chiare, ma forse è meglio aprire un'altra discussione

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