Integrale improprio in due variabili
Salve ragazzi =) potreste aiutarmi a risolvere alcuni dubbi circa gli integrali impropri? Faccio riferimento al seguente esercizio
Calcolare il seguente integrale improprio
[tex]\int_D (x^2+y^2)^{-\alpha}\,dx\,dy \qquad D=\{(x,y): x^2+y^2 \ge 1[/tex]
_________________________
Faccio un cambiamento di variabile per determinare se la funzione è integrabile, cioè
[tex]\int_C \rho^{-2 \alpha} \rho \,d\rho \,d\theta=\int_C \frac{1}{\rho^{2 \alpha -1}} \,d\rho \,d\theta[/tex]
quindi l'integrale esiste finito se
[tex]\alpha> \frac{3}{2}[/tex]
ora posso sempre utilizzare le coordinate polari in quanto il limite dell'integrale è indipendente dalla forma geometrica dell'intorno in cui mi muovo, sia nel caso in cui si serca la convergenza in un ponto di singolarità, sia nel caso in cui il dominio sia infinito
Ricapitolando: per verificare l'esistenza dell'integrale, riconducendomi a coordinate polari, o verifico direttamente, o trovo una funzione che maggiori il mio integrale per poi arrivare alla conclusione. Se esiste faccio il limite per trovare il valore dell'integrale improprio
Il ragionamento è esatto, e rimanendo in [tex]\mathbb{R}^2[/tex] posso agire sempre in questo modo?
Calcolare il seguente integrale improprio
[tex]\int_D (x^2+y^2)^{-\alpha}\,dx\,dy \qquad D=\{(x,y): x^2+y^2 \ge 1[/tex]
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Faccio un cambiamento di variabile per determinare se la funzione è integrabile, cioè
[tex]\int_C \rho^{-2 \alpha} \rho \,d\rho \,d\theta=\int_C \frac{1}{\rho^{2 \alpha -1}} \,d\rho \,d\theta[/tex]
quindi l'integrale esiste finito se
[tex]\alpha> \frac{3}{2}[/tex]
ora posso sempre utilizzare le coordinate polari in quanto il limite dell'integrale è indipendente dalla forma geometrica dell'intorno in cui mi muovo, sia nel caso in cui si serca la convergenza in un ponto di singolarità, sia nel caso in cui il dominio sia infinito
Ricapitolando: per verificare l'esistenza dell'integrale, riconducendomi a coordinate polari, o verifico direttamente, o trovo una funzione che maggiori il mio integrale per poi arrivare alla conclusione. Se esiste faccio il limite per trovare il valore dell'integrale improprio
Il ragionamento è esatto, e rimanendo in [tex]\mathbb{R}^2[/tex] posso agire sempre in questo modo?
Risposte
Non sono d'accordo sul vincolo che hai messo su \(\alpha\)... :S
Secondo me puoi tirare un altro po' la corda senza che si spezzi
Secondo me puoi tirare un altro po' la corda senza che si spezzi
@ Raptor: secondo me ha scritto la disequazione così $2\alpha-1>2$ e non così $2\alpha-1>1$. 
"ciampax":
@ Raptor: secondo me ha scritto la disequazione così $2\alpha-1>2$ e non così $2\alpha-1>1$.
Sure, infatti stavo giusto indagando per capire se è una svista o un buco nella teoria
Si in effetti ho fatto l'errore evidenziato da ciampax 
vi ringrazio!
Ho un'altro esercizio su cui ho difficoltà in quanto ancora ci sono alcune cose che non mi sono molto chiare, ma forse è meglio aprire un'altra discussione
vi ringrazio!Ho un'altro esercizio su cui ho difficoltà in quanto ancora ci sono alcune cose che non mi sono molto chiare, ma forse è meglio aprire un'altra discussione
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