Integrale improprio e integrale di Riemann
ho un dubbio su questa affermazione e non sono sicuro sia così diretta:
sia $f:[a,j)->RR$ limitata su $[a,j)$ limitato e sia $f$ Riemann integrabile su $[a,b]$ $AA bj) \int_a^b f(t) dt$ allora $f$ è Riemann integrabile su $[a,j)$
Ora a me l'implicazione sembra intuitiva e "ovvia" perchè se l'integrale improprio su $[a,j)$ è finito allora questo valore può considerarsi l'area creata sotto il grafico di $f$ e dunque tale limite coincide con l'integrale di Riemann su $[a,j)$.
ci sono oppure sono fuori strada?
O la dimostrazione è del tutto diversa ?
Grazie
sia $f:[a,j)->RR$ limitata su $[a,j)$ limitato e sia $f$ Riemann integrabile su $[a,b]$ $AA b
Ora a me l'implicazione sembra intuitiva e "ovvia" perchè se l'integrale improprio su $[a,j)$ è finito allora questo valore può considerarsi l'area creata sotto il grafico di $f$ e dunque tale limite coincide con l'integrale di Riemann su $[a,j)$.
ci sono oppure sono fuori strada?
O la dimostrazione è del tutto diversa ?
Grazie
Risposte
Grazie...
Non mi è chiaro solo cosa si intenda con prolungamento di $f$. : Siano $a < b ∈ RR$ ed $f : [a, b[→ RR$ integrabile impropriamente su $[a, b[$.
Se f si può prolungare su b in modo che il suo prolungamento $f *$
sia limitato ed
integrabile secondo Riemann su $[a, b]$, allora l’integrale di $f *$
esteso ad $[a, b]$ coincide
con l’integrale improprio di $f$ esteso ad $[a, b[$.
Grazie
Non mi è chiaro solo cosa si intenda con prolungamento di $f$. : Siano $a < b ∈ RR$ ed $f : [a, b[→ RR$ integrabile impropriamente su $[a, b[$.
Se f si può prolungare su b in modo che il suo prolungamento $f *$
sia limitato ed
integrabile secondo Riemann su $[a, b]$, allora l’integrale di $f *$
esteso ad $[a, b]$ coincide
con l’integrale improprio di $f$ esteso ad $[a, b[$.
Grazie
Ah, beh, se non ti è chiaro consulta il tuo testo (di Analisi o di Algebra) nei capitoli iniziali, quelli dedicati agli insiemi ed alle funzioni. 
Ho un dubbio...la mia tesi corrisponde con la proposizione $2$ di pag $13$ del tuo pdf?
Perché li si parla di $f*$ e $f$ ma non capisco quale corrisponda al fatto che per ipotesi nel mio teorema esista finito il limite e quindi $f$ è R-integrabile tra $[a,j)$
Perché li si parla di $f*$ e $f$ ma non capisco quale corrisponda al fatto che per ipotesi nel mio teorema esista finito il limite e quindi $f$ è R-integrabile tra $[a,j)$
"Aletzunny":
Ho un dubbio...la mia tesi corrisponde con la proposizione $2$ di pag $13$ del tuo pdf?
Sì, esattamente.
Ok ma non sono sicuro di aver compreso bene l'equivalenza tra il mio testo e la tua proposizione:
Siano $a < b ∈ RR$ ed $f : [a, b[→ R$ integrabile impropriamente su $[a, b[$ sarebbe il mio $f:[a,j)->RR$ R integrabile su $[a,b]$ $AA bj^-$
E "allora l’integrale di $f
(∗)$
esteso ad $[a, b]$ coincide
con l’integrale improprio di $f$ esteso ad $[a, b[$" sarebbe la mia tesi, cioè $f$ è R integrabile su $[a,j)$.
Ho capito bene?
Perché non riesco a convertire la dimostrazione: presa
$F=\int_a^b f(x) dx $ allora poiché $f$ è integrabile in $[a,b]$ $AA bj^-) F$ è finito come arrivo a dimostrare che $f$ è R integrabile in $[a,j)$ ?
Non sto riuscendo a venirne a una!
Siano $a < b ∈ RR$ ed $f : [a, b[→ R$ integrabile impropriamente su $[a, b[$ sarebbe il mio $f:[a,j)->RR$ R integrabile su $[a,b]$ $AA b
E "allora l’integrale di $f
(∗)$
esteso ad $[a, b]$ coincide
con l’integrale improprio di $f$ esteso ad $[a, b[$" sarebbe la mia tesi, cioè $f$ è R integrabile su $[a,j)$.
Ho capito bene?
Perché non riesco a convertire la dimostrazione: presa
$F=\int_a^b f(x) dx $ allora poiché $f$ è integrabile in $[a,b]$ $AA b
Non sto riuscendo a venirne a una!
Oppure ho sbagliato ad interpretare la proposizione 2 rispetto al testo mio iniziale?
Grazie
Grazie
Eh, c'è da pensarci un po' su...
Come ho scritto sopra io l'ho interpretato così però non sono sicuro perché i due testi usano un linguaggio differente...
Ho anche provato a dimostrarlo ma non ci sono riuscito...
Un chiarimento, diciamo, mi farebbe comodo perché l'uso di $f(*)$ mi ha un po'scombussolato.
Grazie
Ho anche provato a dimostrarlo ma non ci sono riuscito...
Un chiarimento, diciamo, mi farebbe comodo perché l'uso di $f(*)$ mi ha un po'scombussolato.
Grazie
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