Integrale improprio di seconda specie con parametro
Salve, non riesco a svolgere l'integrale scritto. Devo scrivere per quali valori di a esso converge, deve uscire 2/3
$int_2^{+\infty} frac{sqrt{x^2 - 2x}}{x^{2a}(x - sqrt{2x})^a} dx $
Grazie in anticipo dell'aiuto.
$int_2^{+\infty} frac{sqrt{x^2 - 2x}}{x^{2a}(x - sqrt{2x})^a} dx $
Grazie in anticipo dell'aiuto.
Risposte
Per $x \rarr +\infty$, l'integranda come si comporta?
E per $x \rarr 2$ ?
E per $x \rarr 2$ ?
Per x->2 viene la forma indeterminata 0/0 mentre per x->oo non riesco bene a capire perché dipende da a, in ogni caso è di seconda specie con entrambi gli estremi problematici perché a assume due valori. Puoi aiutarmi adesso ?
"feddy":
Per $x \rarr +\infty$, l'integranda come si comporta?
E per $x \rarr 2$ ?
Ho risposto..
"davide.fede":
Per x->2 viene la forma indeterminata 0/0 mentre per x->oo non riesco bene a capire perché dipende da a [...]
Beh il limite dipende da $a$ anche per $x->2^+$ - fermarsi alla forma indeterminata non basta, bisogna capire quale sia questo valore. Quali sono i valori di $a$ che permettono la convergenza nel punto $2$?
Ciao davide.fede,
L'integrale proposto è il seguente:
$int_2^{+\infty} frac{sqrt{x^2 - 2x}}{x^{2a}(x - sqrt{2x})^a} dx $
Ti chiederei la cortesia di eliminare dal tuo OP quella brutta foto e sostituirla con ciò che appare all'interno del box CODICE: di cui sopra.
Comincerei con l'osservare che l'integrale proposto certamente non converge per $a = 0 $ ed altrettanto accade se $a < 0 $
Ne consegue che esso può convergere solo se $a > 0 $
Per $x to +\infty $ si ha:
$int_2^{+\infty} frac{sqrt{x^2 - 2x}}{x^{2a}(x - sqrt{2x})^a} dx $[tex]\sim[/tex] $ int_2^{+\infty} frac{sqrt{x^2}}{x^{2a}(x)^a} dx = int_2^{+\infty} frac{1}{x^{3a - 1}} dx $
L'ultimo integrale scritto converge per confronto con l'integrale improprio notevole
$int_c^{+\infty} frac{1}{x^{p}} dx $
con $c = 2 > 0 $ che converge per $p > 1 $
Quindi l'integrale proposto converge se $3a - 1 > 1 \implies a > 2/3 $
Cosa succede per $x \to 2 $ ? Il resto della risposta quando avrai modificato l'OP...
L'integrale proposto è il seguente:
$int_2^{+\infty} frac{sqrt{x^2 - 2x}}{x^{2a}(x - sqrt{2x})^a} dx $
$int_2^{+\infty} frac{sqrt{x^2 - 2x}}{x^{2a}(x - sqrt{2x})^a} dx $Ti chiederei la cortesia di eliminare dal tuo OP quella brutta foto e sostituirla con ciò che appare all'interno del box CODICE: di cui sopra.
Comincerei con l'osservare che l'integrale proposto certamente non converge per $a = 0 $ ed altrettanto accade se $a < 0 $
Ne consegue che esso può convergere solo se $a > 0 $
Per $x to +\infty $ si ha:
$int_2^{+\infty} frac{sqrt{x^2 - 2x}}{x^{2a}(x - sqrt{2x})^a} dx $[tex]\sim[/tex] $ int_2^{+\infty} frac{sqrt{x^2}}{x^{2a}(x)^a} dx = int_2^{+\infty} frac{1}{x^{3a - 1}} dx $
L'ultimo integrale scritto converge per confronto con l'integrale improprio notevole
$int_c^{+\infty} frac{1}{x^{p}} dx $
con $c = 2 > 0 $ che converge per $p > 1 $
Quindi l'integrale proposto converge se $3a - 1 > 1 \implies a > 2/3 $
Cosa succede per $x \to 2 $ ? Il resto della risposta quando avrai modificato l'OP...
"davide.fede":
Ho risposto..
E io non avevo tempo... ad ogni modo ti hanno già dato una [size=150]grossa[/size] mano i due utenti, ora prova ad andare avanti facendo tesoro di quanto ti è stato detto
"pilloeffe":
Ciao davide.fede,
L'integrale proposto è il seguente:
$int_2^{+\infty} frac{sqrt{x^2 - 2x}}{x^{2a}(x - sqrt{2x})^a} dx $
$int_2^{+\infty} frac{sqrt{x^2 - 2x}}{x^{2a}(x - sqrt{2x})^a} dx $
Ti chiederei la cortesia di eliminare dal tuo OP quella brutta foto e sostituirla con ciò che appare all'interno del box CODICE: di cui sopra.
Comincerei con l'osservare che l'integrale proposto certamente non converge per $a = 0 $ ed altrettanto accade se $a < 0 $
Ne consegue che esso può convergere solo se $a > 0 $
Per $x to +\infty $ si ha:
$int_2^{+\infty} frac{sqrt{x^2 - 2x}}{x^{2a}(x - sqrt{2x})^a} dx $[tex]\sim[/tex] $ int_2^{+\infty} frac{sqrt{x^2}}{x^{2a}(x)^a} dx = int_2^{+\infty} frac{1}{x^{3a - 1}} dx $
L'ultimo integrale scritto converge per confronto con l'integrale improprio notevole
$int_c^{+\infty} frac{1}{x^{p}} dx $
con $c = 2 > 0 $ che converge per $p > 1 $
Quindi l'integrale proposto converge se $3a - 1 > 1 \implies a > 2/3 $
Cosa succede per $x \to 2 $ ? Il resto della risposta quando avrai modificato l'OP...
Ho cambiato l'OP, sono riuscito a capire il procedimento per x->oo ma ho problemi col 2, so che sono insistente ma è un esercizio importante. Potresti dirmi come fare ?
"Brancaleone":
Beh il limite dipende da $a$ anche per $x->2^+$ - fermarsi alla forma indeterminata non basta, bisogna capire quale sia questo valore.
Il procedimento è analogo a quello che ti ha mostrato pilloeffe, solo che a 'sto giro giochi con la gerarchia degli infinitesimi anziché con quella degli infiniti: per $x->2^+$ hai
$lim_{x ->2^+} frac{sqrt{x^2 - 2x}}{x^{2a}(x - sqrt{2x})^a} $[tex]\sim[/tex]$ frac{sqrt{2-x}}{(x - sqrt{2x})^a} = frac{0 \text{ di ordine }1/2}{0 \text{ di ordine }a}$
Dato che questo integrale diverge nel punto $2$ solo se il risultato è $+- oo$ di ordine maggiore o uguale a 1, devi controllare i diversi casi:
*per $0
*per $a=1/2$ hai $frac{0 \text{ di ordine }1/2}{0 \text{ di ordine }1/2} = c \in RR =>$ converge
*per $1/2
*per $a>=3/2$ hai $frac{0 \text{ di ordine }1/2}{0 \text{ di ordine }a>=3/2} = oo \text{ di ordine}>=1=>$ diverge
A questo punto hai praticamente trovato i valori di $a$ che cercavi.
"davide.fede":
Potresti dirmi come fare ?
Avrei fatto così:
$frac{sqrt{x^2 - 2x}}{x^{2a}(x - sqrt{2x})^a} = frac{sqrt{x^2 - 2x}\cdot (x + sqrt{2x})^a}{x^{2a}(x - sqrt{2x})^a \cdot (x + sqrt{2x})^a} = frac{x^{1/2}sqrt{x - 2}\cdot (x + sqrt{2x})^a}{x^{2a}(x^2 - 2x)^a} = $
$ = frac{x^{1/2}(x - 2)^{1/2} \cdot (x + sqrt{2x})^a}{x^{3a}(x - 2)^a} = frac{(x + sqrt{2x})^a}{x^{3a - 1/2}(x - 2)^{a - 1/2}} $
Quindi per $x to 2 $ si ha:
$ int_2^{+\infty} frac{sqrt{x^2 - 2x}}{x^{2a}(x - sqrt{2x})^a} dx $ [tex]\sim[/tex] $ int_2^{+\infty} frac{4^a}{2^{3a - 1/2}(x - 2)^{a - 1/2}} dx = int_2^{+\infty} frac{1}{2^{a - 1/2}(x - 2)^{a - 1/2}} dx $
L'ultimo integrale scritto converge per confronto con l'integrale improprio notevole se $a - 1/2 < 1 \implies a < 3/2 $
In definitiva l'integrale improprio proposto $int_2^{+\infty} frac{sqrt{x^2 - 2x}}{x^{2a}(x - sqrt{2x})^a} dx $ converge se $2/3 < a < 3/2 $
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