Integrale improprio
Ciao a tutti 
Ho un piccolo problema riguardo gli integrali impropri, nel senso che faccio confusione tra quelli di prima specie e quelli di seconda.
Mi spiego meglio: ho la funzione
\(\displaystyle f(x) = \begin{cases} \frac{ax}{\sqrt{1-x}}+bx\ln{|x|} & x<1\\
c & x = 1\\
e^{-\frac{1}{x-1}} & x>1 \end{cases} \)
e devo controllare se è integrabile, eventualmente in senso improprio, nell'intervallo [-1, 2]
Il primo pezzo è "facile": se ho fatto i conti giusti, f(x) risulta continua negli intervalli x < 1 e x > 1, e controllando il limite destro e sinistro nel punto \(\displaystyle x_0=1 \) arrivo alla conclusione che f(x) è sicuramente integrabile in senso definito perché continua nell'intervallo [-1, 2] se e solo se a = c = 0, qualunque sia b appartenente ai Reali.
Per \(\displaystyle a \ne 0 \), invece, il limite sinistro sul punto \(\displaystyle x_0=1 \) vale \(\displaystyle \pm \infty \), a seconda che $a$ sia positiva o negativa, e quindi f(x) non è integrabile in tal caso perché non è limitata.
Potrebbe però esserlo in senso improprio: dovendo essere
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^{-}} \int_{-1}^{x} \frac{at}{\sqrt{1-t}}+bt\ln{|t|} dt = l \in \mathbb{R} \)
ne controllo la convergenza sull'integranda:
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{ax}{\sqrt{1-x}}+bx\ln{|x|} = \frac{a}{0^{+}}+0 = \pm \infty \) (segno dipendente da a) di ordine \(\displaystyle \frac{1}{2} \).
Però ora faccio confusione: l'integrale è di prima o seconda specie?
Ho un piccolo problema riguardo gli integrali impropri, nel senso che faccio confusione tra quelli di prima specie e quelli di seconda.
Mi spiego meglio: ho la funzione
\(\displaystyle f(x) = \begin{cases} \frac{ax}{\sqrt{1-x}}+bx\ln{|x|} & x<1\\
c & x = 1\\
e^{-\frac{1}{x-1}} & x>1 \end{cases} \)
e devo controllare se è integrabile, eventualmente in senso improprio, nell'intervallo [-1, 2]
Il primo pezzo è "facile": se ho fatto i conti giusti, f(x) risulta continua negli intervalli x < 1 e x > 1, e controllando il limite destro e sinistro nel punto \(\displaystyle x_0=1 \) arrivo alla conclusione che f(x) è sicuramente integrabile in senso definito perché continua nell'intervallo [-1, 2] se e solo se a = c = 0, qualunque sia b appartenente ai Reali.
Per \(\displaystyle a \ne 0 \), invece, il limite sinistro sul punto \(\displaystyle x_0=1 \) vale \(\displaystyle \pm \infty \), a seconda che $a$ sia positiva o negativa, e quindi f(x) non è integrabile in tal caso perché non è limitata.
Potrebbe però esserlo in senso improprio: dovendo essere
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^{-}} \int_{-1}^{x} \frac{at}{\sqrt{1-t}}+bt\ln{|t|} dt = l \in \mathbb{R} \)
ne controllo la convergenza sull'integranda:
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{ax}{\sqrt{1-x}}+bx\ln{|x|} = \frac{a}{0^{+}}+0 = \pm \infty \) (segno dipendente da a) di ordine \(\displaystyle \frac{1}{2} \).
Però ora faccio confusione: l'integrale è di prima o seconda specie?
Risposte
Nessuno è in grado di aiutarmi? 
Ciao!
Ci armiamo
in modo un pò più appropriato?
A me sembra,intanto,che tu abbia trascurato inopinatamente 0 tra le ascisse che potrebbero darti fastidio:
ci spieghi intanto perchè,sebbene legitimo a posteriori,lo hai fatto?
Poi magari spezza il tuo intervallo base in tre opportuni sottointervalli
(ma dovresti individuarli tu,
che se ti si accende la lampada in quest'occasione non la spegnerai più neanche a prenderla a bastonate
),
ed a quel punto ragioneremo un pò su terminologia e strategie risolutive:
saluti dal web.
Ci armiamo
in modo un pò più appropriato?A me sembra,intanto,che tu abbia trascurato inopinatamente 0 tra le ascisse che potrebbero darti fastidio:
ci spieghi intanto perchè,sebbene legitimo a posteriori,lo hai fatto?
Poi magari spezza il tuo intervallo base in tre opportuni sottointervalli
(ma dovresti individuarli tu,
che se ti si accende la lampada in quest'occasione non la spegnerai più neanche a prenderla a bastonate
),ed a quel punto ragioneremo un pò su terminologia e strategie risolutive:
saluti dal web.
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