Integrale improprio

[delca85]

Ciao! Mi dite se questo esercizio l'ho eseguito in maniera corretta? Devo dire se l'integrale improprio proposto è convergente o divergente.
$\int_{0}^{1} (arctan(1/t)-pi/2)/(sin(t))^(3/2)$. $f(t)=(arctan(1/t)-pi/2)/(sin(t))^(3/2)$ e $f(t)=0$-grande$t^(3/2)$. Poichè l'integrale improprio di $t^(3/2)$ da $0$ a $1$ è convergente, allora lo è anche quello iniziale.
Cosa dite?

[Berationalgetreal]

Visto che ultimamente gli integrali impropri sembrano molto in voga, propongo questo, che pur essendo abbastanza elementare non ha mai ricevuto una risposta. La risoluzione, come sempre, è in spoiler:

Vogliamo studiare la convergenza dell'integrale improprio

\[ \int_{0}^{1} \frac{ \arctan \left (\frac{1}{t} \right ) - \frac{\pi}{2}}{\sin^{\frac{3}{2}} (t)} dt \]

che è improprio soltanto nell'estremo $0$, ed è di seconda specie.

Ricordando l'identità fondamentale dell'arcotangente

\[ \arctan \left (\frac{1}{t} \right) + \arctan (t) = \frac{\pi}{2} \]

possiamo riscrivere l'integrale come

\[ - \int_{0}^{1} \frac{ \arctan \left (t \right )}{\sin^{\frac{3}{2}} (t)} dt \]

Ora, notando che

\[ \frac{ \arctan \left (t \right )}{\sin^{\frac{3}{2}} (t)} = \frac{ \arctan \left (t \right )}{t} \cdot \frac{ t^{\frac{3}{2}}}{\sin^{\frac{3}{2}} (t)} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \sim \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}, \ t \to 0 \]

concludiamo che l'integrale improprio

\[ \int_{0}^{1} \frac{ \arctan \left (\frac{1}{t} \right ) - \frac{\pi}{2}}{\sin^{\frac{3}{2}} (t)} dt \]

converge $\iff$ converge l'integrale improprio

\[ \int_{0}^{1} \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} dt \]

che è convergente poichè $ p = \frac{1}{2} < 1$.