Integrale improprio.
Buonasera,
ho il seguente integrale
1) Per $a=0$ si ha la funzione integranda pari $1$ per cui si ha la divergenza.
2) Per $a>0$ applico il criterio del confronto asintotico da cui ottengo un integrale improprio notevole, il quale risulta essere convergente.
3) Per $a<0$ applico di nuovo il criterio del confronto asintotico, ottengo lo stesso integrale notevole del caso in cui $a>0$ ma di segno opposto, quindi mi verrebbe da dire che ci sia la convergenza anche in questo caso.
Il risultato è $a>0$, come posso risolvere ?
Buona serata.
ho il seguente integrale
$int_(-infty)^(+infty) (x^2+1)/(ax^4+x^2+1)dx$
con $a in R$, chiede di determinare il valore di $a$ per cui l'integrale sia convergente. 1) Per $a=0$ si ha la funzione integranda pari $1$ per cui si ha la divergenza.
2) Per $a>0$ applico il criterio del confronto asintotico da cui ottengo un integrale improprio notevole, il quale risulta essere convergente.
3) Per $a<0$ applico di nuovo il criterio del confronto asintotico, ottengo lo stesso integrale notevole del caso in cui $a>0$ ma di segno opposto, quindi mi verrebbe da dire che ci sia la convergenza anche in questo caso.
Il risultato è $a>0$, come posso risolvere ?
Buona serata.
Risposte
se $a<0$ il denominatore si annulla?
Ciao anto_zoolander grazie come sempre per la risposta 
Il metodo che proponi se ho ben capito, dovrebbe essere lo stesso che c'è sulla risoluzione...ossia viene proposto in modo simile, cioè, posto per semplicità $q(x)=ax^4+x^2+1$, con $a<0$, si ha che
Sia $h>1$ la moltiplicità di $x_0$, si ha che
L'integrale improprio della funzione $1/(x-x_0)^h$ risulta essere divergente, quindi, per il criterio del confronto asintotico, risulta essere divergente anche l'integrale di partenza.
Ci sono altri modi, per risolverlo ?
Il metodo che proponi se ho ben capito, dovrebbe essere lo stesso che c'è sulla risoluzione...ossia viene proposto in modo simile, cioè, posto per semplicità $q(x)=ax^4+x^2+1$, con $a<0$, si ha che
$q(0)=1 \ qquad lim_(x to - infty)=lim_(x to + infty)=-infty$
la funzione $q$ è continua in $RR$, pertanto $q$ ha due radici $x_0, x_1$, cioè $q(x_0)=0=q(x_1)$. Sia $h>1$ la moltiplicità di $x_0$, si ha che
$f~1/(x-x_0)^h \ qquad x to x_0$
L'integrale improprio della funzione $1/(x-x_0)^h$ risulta essere divergente, quindi, per il criterio del confronto asintotico, risulta essere divergente anche l'integrale di partenza.
Ci sono altri modi, per risolverlo ?
Probabilmente ci saranno anche altri modi ma sicuramente questo ti permette di fare meno calcoli; non ti piace come metodo?
Buongiorno anto_zoolander,
no non dico che non mi piace, anzi, è molto intuitivo e veloce.
Dal momento che ho visto la risoluzione dell'esercizio, mi sembra che non l'abbia capito, quindi cercavo di provare a vedere se ci fosse un altro metodo, tutto quì
Un'altra domanda, ma perchè il criterio del confronto asintotico non va bene nel caso in cui $a<0$?
no non dico che non mi piace, anzi, è molto intuitivo e veloce.
Dal momento che ho visto la risoluzione dell'esercizio, mi sembra che non l'abbia capito, quindi cercavo di provare a vedere se ci fosse un altro metodo, tutto quì
Un'altra domanda, ma perchè il criterio del confronto asintotico non va bene nel caso in cui $a<0$?
Ma no, ragazzi. Se \(a\) è negativo, ci sono degli zeri del denominatore, e fin qui sono d'accordo con anto_zoolander. Allora tocca andarsi a studiare questi zeri e vedere se sono singolarità integrabili o no.
@galles: hai fatto questo lavoro, o no? Se non lo hai fatto, lo devi fare.
@galles: hai fatto questo lavoro, o no? Se non lo hai fatto, lo devi fare.
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