Integrale improprio
Ciao ragazzi,
Vorrei sapere come si svolge quest'integrale e se ho sbagliato qualche passaggio :
$ int_(pi/4)^(pi/2)(tgx)/(tg^2x-1)^(alpha)dx $
ho posto $u=tgx$ quindi $du=1+tg^2x dx$
ed ho ottenuto $ int_(1)^(oo)(u(u+1)^(1/2))/(u^2-1)^(alpha)du $
studio il $lim_(u->oo) u^(3/2)/(u^(2*alpha))(+o(1))$ risulta che converge per alpha>5/2
Da qui in poi mi dovrei trovare la convergenza in 1 e se $alpha$ è uguale ad 1/2 quanto vale l'integrale
Passaggi che non so come fare sapreste darmi cortesemente una mano?
Vorrei sapere come si svolge quest'integrale e se ho sbagliato qualche passaggio :
$ int_(pi/4)^(pi/2)(tgx)/(tg^2x-1)^(alpha)dx $
ho posto $u=tgx$ quindi $du=1+tg^2x dx$
ed ho ottenuto $ int_(1)^(oo)(u(u+1)^(1/2))/(u^2-1)^(alpha)du $
studio il $lim_(u->oo) u^(3/2)/(u^(2*alpha))(+o(1))$ risulta che converge per alpha>5/2
Da qui in poi mi dovrei trovare la convergenza in 1 e se $alpha$ è uguale ad 1/2 quanto vale l'integrale
Passaggi che non so come fare sapreste darmi cortesemente una mano?
Risposte
Perchè non provi a sviluppare con Taylor invece di usare la sostituzione nell'integrale?
Lo sviluppo di Taylor però può essere essere fatto solamente quando studi la convergenza in x->pi/4 e così facendo abbiamo che il nostro integrale converge sempre per alpha<2? Invece per lo studio del nostro integrale quando alpha=1 come si può risolvere l' integrale
Non ho fatto conti. Ma il testo non ti chiedeva quanto valeva l'integrale per $alpha=1/2$?
si scusa ho sbagliato a digitare
Ciao ale.vh,
Onestamente credo sia molto più produttiva la posizione $ u := tg^2x - 1 \implies du = 2 tgx (1 + tg^2x) dx \implies du = 2tgx dx (u + 2) \implies tgxdx = \frac{du}{2(u + 2)} $ che riduce l'integrale a quello di una semplice funzione razionale. Per $ x = \pi/4 \implies u = 0 $, per $ x = \pi /2 \implies u = +\infty $, per cui si ottiene l'integrale improprio seguente:
$ \frac{1}{2} \int_0^{+\infty} \frac{1}{u^{\alpha}(u + 2)}du $
Isolando le singolarità:
1) Nell'intorno di $0$ vale la stima asintotica $ u^{\alpha}(u + 2)$ $~$ $u^{\alpha} \implies $ si ha convergenza per $ \alpha < 1 $;
2) Nell'intorno di $+\infty$ vale la stima asintotica $ u^{\alpha}(u + 2)$ $~$ $u^{\alpha + 1} \implies $ si ha convergenza per $ \alpha + 1 > 1 \implies \alpha > 0 $.
In conclusione, salvo errori od omissioni, l'integrale improprio proposto mi risulta convergente per $ 0 < \alpha < 1 $.
Onestamente credo sia molto più produttiva la posizione $ u := tg^2x - 1 \implies du = 2 tgx (1 + tg^2x) dx \implies du = 2tgx dx (u + 2) \implies tgxdx = \frac{du}{2(u + 2)} $ che riduce l'integrale a quello di una semplice funzione razionale. Per $ x = \pi/4 \implies u = 0 $, per $ x = \pi /2 \implies u = +\infty $, per cui si ottiene l'integrale improprio seguente:
$ \frac{1}{2} \int_0^{+\infty} \frac{1}{u^{\alpha}(u + 2)}du $
Isolando le singolarità:
1) Nell'intorno di $0$ vale la stima asintotica $ u^{\alpha}(u + 2)$ $~$ $u^{\alpha} \implies $ si ha convergenza per $ \alpha < 1 $;
2) Nell'intorno di $+\infty$ vale la stima asintotica $ u^{\alpha}(u + 2)$ $~$ $u^{\alpha + 1} \implies $ si ha convergenza per $ \alpha + 1 > 1 \implies \alpha > 0 $.
In conclusione, salvo errori od omissioni, l'integrale improprio proposto mi risulta convergente per $ 0 < \alpha < 1 $.
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