Integrale impossibile?
Salve...
Come risolvereste l'integrale indefinito di 1/ arctng(x+y+1) in dx?
Ho provato a sostituire l'arctng con t, ma niente, per parti niente, non so come procedere... Grazie a tutti
Come risolvereste l'integrale indefinito di 1/ arctng(x+y+1) in dx?
Ho provato a sostituire l'arctng con t, ma niente, per parti niente, non so come procedere... Grazie a tutti
Risposte
Ma siamo sicuri che sia un integrali indefinito? Da dove viene fuori il problema?
In effetti devo calcolare l'integrale esteso a gamma di 1/arctng(1+x+y) dx + ( 1/arctng(1+x+y) +y)dy
Dove gamma è l'arco di circonferenza di centro 0,0 raggio 1 del primo quadrante.
Poiché la forma differenziale è esatta, cercavo di trovare una primitiva, così da determinare direttamente il valore dell'integrale... Che ne dici?
Dove gamma è l'arco di circonferenza di centro 0,0 raggio 1 del primo quadrante.
Poiché la forma differenziale è esatta, cercavo di trovare una primitiva, così da determinare direttamente il valore dell'integrale... Che ne dici?
Allora, capiamoci: devi calcolare questo
$$\int_\gamma\left[\frac{1}{\arctan(1+x+y)}\ dx+\left(\frac{1}{\arctan(1+x+y)}+y\right)\ dy\right]$$
dove $\gamma(t)=(\cos t,\sin t),\ t\in[0,\pi/2]$. Ok, la forma è esatta, ed è definita nel primo quadrante, quindi l'ide aè corretta. Pertanto vuoi calcolare
$$U(x,y)=\int\frac{dx}{\arctan(x+y+1)}$$
Tuttavia la cosa risulta, effettivamente complicata, così come il calcolo diretto.
Mi era venuta un'idea prendendo una possibile curva chiusa e provando a vedere l'integrale su $\gamma$ come somme su tale curva, però continuano a rimanere queste arcotangenti. Devo pensarci un attimo.
EDIT: risolto. Consideriamo la seguente curva: $\Gamma(t)=\gamma(t)\cup\mu(t)$, dove $\mu(t)=(t,1-t),\ t\in[0,1]$ è il segmento di estremi $(0,1)$ e $(1,0)$. Tale curva è chiusa (lo vedi da te) pertanto se $\omega$ è la nostra forma, si ha
$$0=\int_\Gamma\omega=\int_\gamma\omega+\int_\mu\omega\ \Rightarrow\ \int_\gamma\omega=-\int_\mu\omega$$
Ora, la forma ristretta a $\mu$, dal momento che $x=t,\ y=1-t\ \Rightarrow\ dx=dt,\ dy=-dt$ diventa
$$\omega=\frac{1}{\arctan(2)}\ dt+\left(\frac{1}{\arctan(2)}+(1-t)\right)(-dt)=(t-1)\ dt$$
e pertanto
$$\int_\gamma\omega=\int_0^1(t-1)\ dt=-1/2$$
(se non ho fatto errori di calcolo).
$$\int_\gamma\left[\frac{1}{\arctan(1+x+y)}\ dx+\left(\frac{1}{\arctan(1+x+y)}+y\right)\ dy\right]$$
dove $\gamma(t)=(\cos t,\sin t),\ t\in[0,\pi/2]$. Ok, la forma è esatta, ed è definita nel primo quadrante, quindi l'ide aè corretta. Pertanto vuoi calcolare
$$U(x,y)=\int\frac{dx}{\arctan(x+y+1)}$$
Tuttavia la cosa risulta, effettivamente complicata, così come il calcolo diretto.
Mi era venuta un'idea prendendo una possibile curva chiusa e provando a vedere l'integrale su $\gamma$ come somme su tale curva, però continuano a rimanere queste arcotangenti. Devo pensarci un attimo.
EDIT: risolto. Consideriamo la seguente curva: $\Gamma(t)=\gamma(t)\cup\mu(t)$, dove $\mu(t)=(t,1-t),\ t\in[0,1]$ è il segmento di estremi $(0,1)$ e $(1,0)$. Tale curva è chiusa (lo vedi da te) pertanto se $\omega$ è la nostra forma, si ha
$$0=\int_\Gamma\omega=\int_\gamma\omega+\int_\mu\omega\ \Rightarrow\ \int_\gamma\omega=-\int_\mu\omega$$
Ora, la forma ristretta a $\mu$, dal momento che $x=t,\ y=1-t\ \Rightarrow\ dx=dt,\ dy=-dt$ diventa
$$\omega=\frac{1}{\arctan(2)}\ dt+\left(\frac{1}{\arctan(2)}+(1-t)\right)(-dt)=(t-1)\ dt$$
e pertanto
$$\int_\gamma\omega=\int_0^1(t-1)\ dt=-1/2$$
(se non ho fatto errori di calcolo).
Ho provato a mettere la funzione su Wolphram ed è impazzito (o almeno credo) http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrale&a=*C.integrale-_*Calculator.dflt-&f2=1%2F(arctan(x%2By%2B1))&f=Integral.integrand_1%2F(arctan(x%2By%2B1))&a=*FVarOpt.1-_**-.***Integral.rangestart-.*Integral.rangeend--.**Integral.variable---.*--
Ovviamente io non ci sarei riuscito, quindi non sono nella posizione di deridere wolphram (
)
Ovviamente io non ci sarei riuscito, quindi non sono nella posizione di deridere wolphram (
)
grazie ciampax... una soluzione geniale!!!
pensandoci bene poichè la forma è esatta, non dipendendo dal cammino di integrazione, avrei potuto semplicemente calcolare l'integrale su una qualsiasi altra curva che abbia per estremi (1,0) e (0,1), che è in effetti il tuo ragiomento se considero il segmento orientato nello stesso verso di gamma!!
grazie ancora.
se non ti chiedo troppo: ho postato sempre oggi un esercizio su un flusso che non ha ancora avuto risposta... se potresti dargli uno sguardo mi salveresti il pomeriggio di studio.
pensandoci bene poichè la forma è esatta, non dipendendo dal cammino di integrazione, avrei potuto semplicemente calcolare l'integrale su una qualsiasi altra curva che abbia per estremi (1,0) e (0,1), che è in effetti il tuo ragiomento se considero il segmento orientato nello stesso verso di gamma!!
grazie ancora.
se non ti chiedo troppo: ho postato sempre oggi un esercizio su un flusso che non ha ancora avuto risposta... se potresti dargli uno sguardo mi salveresti il pomeriggio di studio.
Se mi linki la discussione ci do un'occhiata.
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