Integrale giusto o sbagliato?
[tex]\int \frac{1}{e^{2x}+1}[/tex]
Ho pensato di farlo per sostituzione:
Pongo [tex]t^2=e^{2x}[/tex]
[tex]t=e^x[/tex]
[tex]dx=\frac{1}{t}dt[/tex] [tex]x=logt[/tex]
Quindi dopo un pò di conti otterrei:
[tex]\int \frac{1}{t(t^2+1)}dt[/tex]
Ora determino:
[tex]\frac{A}{t}+\frac{Bt}{t^2+1}[/tex]
P.S...non sono sicuro di questo passaggio, non capisco quando bisogna scrivere come costante [tex]Bt+C[/tex] e quando solamente una costante per le soluzioni complesse del tipo [tex]Bt[/tex], mi dite da cosa dipende per favore?
Ho fatto il sistema e trovato come soluzioni A=1 e B=-1.
[tex]\int \frac{1}{t}dt + \int \frac{-1}{t^2+1}[/tex]
Il risultato finale mi viene:
[tex]log(e^x)-artang(e^x)+c[/tex]
Ho pensato di farlo per sostituzione:
Pongo [tex]t^2=e^{2x}[/tex]
[tex]t=e^x[/tex]
[tex]dx=\frac{1}{t}dt[/tex] [tex]x=logt[/tex]
Quindi dopo un pò di conti otterrei:
[tex]\int \frac{1}{t(t^2+1)}dt[/tex]
Ora determino:
[tex]\frac{A}{t}+\frac{Bt}{t^2+1}[/tex]
P.S...non sono sicuro di questo passaggio, non capisco quando bisogna scrivere come costante [tex]Bt+C[/tex] e quando solamente una costante per le soluzioni complesse del tipo [tex]Bt[/tex], mi dite da cosa dipende per favore?
Ho fatto il sistema e trovato come soluzioni A=1 e B=-1.
[tex]\int \frac{1}{t}dt + \int \frac{-1}{t^2+1}[/tex]
Il risultato finale mi viene:
[tex]log(e^x)-artang(e^x)+c[/tex]
Risposte
Mi limito a dire [tex]\log(e^x)=x[/tex]; neanch'io riconosco quando scrivere Bt o Bt+C, hai fatto la verifica derivando il risultato per sicurezza?
Mh, no non avevo provato,nella derivata il denominatore risulta corretto ma non il numeratore, non so perchè....
Metti sempre Bt + C che non sbagli mai
Ci credo andrethegun, quando la C non ci vuole sicuramente essa verrebbe 0 dai conti!
Mettendo Bt+C però il sistema mi viene strano......
[tex]\frac{A(t^2+1)+Bt^2+Ct}{...}[/tex]
[tex]\frac{At^2+A+Bt^2+Ct}{..}[/tex]
E poi il sistema come lo imposto?
[tex]\frac{A(t^2+1)+Bt^2+Ct}{...}[/tex]
[tex]\frac{At^2+A+Bt^2+Ct}{..}[/tex]
E poi il sistema come lo imposto?
appunto.. ma tu non gli avevi dato una risposta
Emh...non è che qualcuno potrebbe farmi vedere come continua?
Perchè quel sistema non lo so reimpostare...e anche quando prima avevo sbagliato a calcolare gli integrali dopo avere risolto il sistema senza la C.
Perchè quel sistema non lo so reimpostare...e anche quando prima avevo sbagliato a calcolare gli integrali dopo avere risolto il sistema senza la C.
scusa eh, imposato il sistema come il solito: inizialmente l' integrada ha come numeratore 1.
Allora i termini moltiplicati per $t^2$ e $t$ non ci devono essere (eguagliali a zero), mentre i termini senza t li eguagli ad 1.
Allora i termini moltiplicati per $t^2$ e $t$ non ci devono essere (eguagliali a zero), mentre i termini senza t li eguagli ad 1.
Scusa io metto in evidenza [tex]t^2[/tex] e ottengo nel sistema A+B=0, ma poi come lo imposto dato che mi rimane A+ Ct?
Lì non posso mettere in evidenza.....
[tex]\left\{\begin{matrix}
A+B=0\\
A+C=1\end{matrix}\right.[/tex] ma non penso proprio....come si imposta scusa...
Lì non posso mettere in evidenza.....
[tex]\left\{\begin{matrix}
A+B=0\\
A+C=1\end{matrix}\right.[/tex] ma non penso proprio....come si imposta scusa...
Devi imporre A=1 in quanto il coefficiente di grado 0 della funzione integranda è 1 ed imponi C=0 in quanto il termine di di grado 1 della funzione integranda è 0.
"Darèios89":
Mettendo Bt+C però il sistema mi viene strano......
[tex]\frac{A(t^2+1)+Bt^2+Ct}{...}[/tex]
[tex]\frac{At^2+A+Bt^2+Ct}{..}[/tex]
Avrò:
[tex]\frac{t^2(A+B)+A+Ct}{.......}[/tex]
Ora dovrei porre A+B=0 perchè il coefficiente di secondo grado è 0, e lo controllo a partire dalla funzione di partenza giusto?
Poi A la pongo uguale ad 1 perchè ho la costante 1 al numeratore, e poi Ct (ops...volevo dire C) =0 poichè anche qui il coefficiente è nullo e quindi il sistema sarà:
[tex]\left\{\begin{matrix}
A+B=0\\
A=1\\
C=0\end{matrix}\right.[/tex]
Giusto?
si così va bene,,
Allora avrò sbagliato dopo...diventerebbe:
[tex]\int \frac{1}{t}dt+ \int \frac{-1}{t^2+1}dt[/tex]
[tex]log|t|-\int \frac{1}{t^2+1}dt[/tex]
E quindi avrei alla fine:
[tex]log|t|-arctang(t)+c[/tex] ovviemente da sostituire, ed è come avevo fatto prima, ma mi sa che ho sbagliato, perchè facendo questa derivata non arrivo alla funzione integranda..
Sembra così ovvio...è naturale quello che ho fatto, ma non ne sarei sicuro.
[tex]\int \frac{1}{t}dt+ \int \frac{-1}{t^2+1}dt[/tex]
[tex]log|t|-\int \frac{1}{t^2+1}dt[/tex]
E quindi avrei alla fine:
[tex]log|t|-arctang(t)+c[/tex] ovviemente da sostituire, ed è come avevo fatto prima, ma mi sa che ho sbagliato, perchè facendo questa derivata non arrivo alla funzione integranda..
Sembra così ovvio...è naturale quello che ho fatto, ma non ne sarei sicuro.
Sapreste dirmi cosa non va?
certo prima cosa quando hai una radice complessa semplice devi mettere Bt+C
poi hai risolto bene il sistema e ti viene
A=1
B=-1
C=0
poi devi sostituire bene non come hai fatto dovrebbe essere
$1/t - t/(1+t^2)$ quindi hai confuso B e C.
anche il secondo integrale dovrebbe venire con il logaritmo
poi hai risolto bene il sistema e ti viene
A=1
B=-1
C=0
poi devi sostituire bene non come hai fatto dovrebbe essere
$1/t - t/(1+t^2)$ quindi hai confuso B e C.
anche il secondo integrale dovrebbe venire con il logaritmo
L'ho scritto come:
[tex]\int \frac{1}{t}dt-\frac{1}{2}\int \frac{2t}{t^2+1}t[/tex]
Quindi quando ho Bx o Bt devo ricordarmi che il coefficiente B deve essere moltiplicato per x o t e non scrivere solo il coefficiente
E quindi dovrebbe risultare:
[tex]log(e^x)-\frac{log(e^x+1)}{2}+c[/tex]
[tex]\int \frac{1}{t}dt-\frac{1}{2}\int \frac{2t}{t^2+1}t[/tex]
Quindi quando ho Bx o Bt devo ricordarmi che il coefficiente B deve essere moltiplicato per x o t e non scrivere solo il coefficiente
E quindi dovrebbe risultare:
[tex]log(e^x)-\frac{log(e^x+1)}{2}+c[/tex]
mi sembra che hai sbagliato $t=e^x$ , $t^2=e^(2x)$
Cioè solo un errore di notazione?
[tex]log(e^x)-\frac{log(e^{2x}+1)}{2}+c[/tex]
Che si potrebbe scrivere:
[tex]x-\frac{log(e^{2x}+1)}{2}+c[/tex]
[tex]log(e^x)-\frac{log(e^{2x}+1)}{2}+c[/tex]
Che si potrebbe scrivere:
[tex]x-\frac{log(e^{2x}+1)}{2}+c[/tex]
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