Integrale Gaussiano complesso
Ciao a tutti!
Scrivo per chiedere aiuto per risolvere un integrale che mi sta dando dei problemi...
$\int_{-\infty}^{\infty} dx e^{i \lambda x^2}$ dove $i$ è l'unità immaginaria, $x$ appartiene ad $\mathcal{R}$ e $\lambda$ è un parametro reale fisso.... devo dimostrare che tutto ciò è uguale a $e^{i \text{segno}(\lambda) \frac{\pi}{4}} \sqrt{\frac{\pi}{|\lambda|}}$....
ho provato prima a ricondurmi all'integrale gaussiano complesso contenuto e risolto qui http://www.mathematics.thetangentbundle ... n_integral in fondo alla pagina e che sono riuscito a dimostrare...
purtroppo pare non essere la strada giusta, o almeno non sono riuscito a ricondurmici
poi ho tentato di complessificare x e utilizzare nozioni di analisi complessa tipo teorema dei residui, ma, sarà perchè sono arrugginito, ma non sono riuscito ad arrivare alla soluzione...non riesco a capire se è possibile applicare il lemma di Jordan. Non dovrebbe, dal momento che la funzione non presenta poli e quindi l'integrale darebbe risultato nullo...
chi può darmi una mano??mi basta anche solo un suggerimento su quale strada percorrere
grazie davvero a chiunque risponda...
Scrivo per chiedere aiuto per risolvere un integrale che mi sta dando dei problemi...
$\int_{-\infty}^{\infty} dx e^{i \lambda x^2}$ dove $i$ è l'unità immaginaria, $x$ appartiene ad $\mathcal{R}$ e $\lambda$ è un parametro reale fisso.... devo dimostrare che tutto ciò è uguale a $e^{i \text{segno}(\lambda) \frac{\pi}{4}} \sqrt{\frac{\pi}{|\lambda|}}$....
ho provato prima a ricondurmi all'integrale gaussiano complesso contenuto e risolto qui http://www.mathematics.thetangentbundle ... n_integral in fondo alla pagina e che sono riuscito a dimostrare...
purtroppo pare non essere la strada giusta, o almeno non sono riuscito a ricondurmici
poi ho tentato di complessificare x e utilizzare nozioni di analisi complessa tipo teorema dei residui, ma, sarà perchè sono arrugginito, ma non sono riuscito ad arrivare alla soluzione...non riesco a capire se è possibile applicare il lemma di Jordan. Non dovrebbe, dal momento che la funzione non presenta poli e quindi l'integrale darebbe risultato nullo...
chi può darmi una mano??mi basta anche solo un suggerimento su quale strada percorrere
grazie davvero a chiunque risponda...
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