Integrale gaussiano
Salve a tutti,
sto cercando di risolvere un integrale (di cui ho la soluzione), ma provando a risolverlo credo di commettere un errore. Riuscireste a dirmi dov'è?
L'integrale in questione è, dato $a \in R$ e $b,y \in R_+$ e $\Phi(x)=\int_{-oo}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}\text{d}z$
$\int_0^y x$ $\text{d}\Phi(\frac{-ln x+a}{b})=\int_0^y x(-1/(bx))\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp[-1/2(\frac{-ln x+a}{b})^2]\text{d}x=$
$=\int_0^y -\frac{1}{b\sqrt{2\pi}}\exp[-\frac{(-ln x+a)^2}{2b^2} ]\text{d}x$
Facendo il cambio di variabile $w=-ln x$
$\int_0^y x$ $\text{d}\Phi(\frac{-ln x+a}{b})=\int_{-ln y}^{oo} \frac{1}{b\sqrt{2\pi}}\exp[-\frac{(w+a)^2}{2b^2} ]e^{-w}\text{d}w=$
$=\int_{-ln y}^{oo} \frac{1}{b\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{w^2+2aw+a^2+2b^2w }{2b^2} ) \text{d}w =$
$=\int_{-ln y}^{oo} \frac{1}{b\sqrt{2\pi}}\exp[-\frac{w^2-2(-a-b^2)w+(-a-b^2)^2 }{2b^2} ]\exp[\frac{(-a-b^2)^2-a^2 }{2b^2} ]\text{d}w=$
$=e^((b^2)/2+a) \int_{-ln y}^{oo} \frac{1}{b\sqrt{2\pi}}\exp[-1/2(\frac{w-(-a-b^2) }{ b } )^2]\text{d}w$
Facendo un altro cambio di variabile $z=\frac{w-(-a-b^2) }{ b }$, segue
$\int_0^y x$ $\text{d}\Phi(\frac{-ln x+a}{b})=e^((b^2)/2+a) \int_{(-ln y+a+b^2)/b}^{oo} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}\text{d}z=e^((b^2)/2+a) \int_{-oo}^{(ln y-a-b^2)/b} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}\text{d}z=$
$=e^((b^2)/2+a) \Phi((ln y-a-b^2)/b)$.
Tuttavia il risultato e' sbagliato in quanto dovrebbe essere $\int_0^y x$ $\text{d}\Phi(\frac{-ln x+a}{b})=e^((b^2)/2+a) \Phi((-ln y+a+b^2)/b)$. Qualcuno sa dirmi dove sbaglio?
sto cercando di risolvere un integrale (di cui ho la soluzione), ma provando a risolverlo credo di commettere un errore. Riuscireste a dirmi dov'è?
L'integrale in questione è, dato $a \in R$ e $b,y \in R_+$ e $\Phi(x)=\int_{-oo}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}\text{d}z$
$\int_0^y x$ $\text{d}\Phi(\frac{-ln x+a}{b})=\int_0^y x(-1/(bx))\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp[-1/2(\frac{-ln x+a}{b})^2]\text{d}x=$
$=\int_0^y -\frac{1}{b\sqrt{2\pi}}\exp[-\frac{(-ln x+a)^2}{2b^2} ]\text{d}x$
Facendo il cambio di variabile $w=-ln x$
$\int_0^y x$ $\text{d}\Phi(\frac{-ln x+a}{b})=\int_{-ln y}^{oo} \frac{1}{b\sqrt{2\pi}}\exp[-\frac{(w+a)^2}{2b^2} ]e^{-w}\text{d}w=$
$=\int_{-ln y}^{oo} \frac{1}{b\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{w^2+2aw+a^2+2b^2w }{2b^2} ) \text{d}w =$
$=\int_{-ln y}^{oo} \frac{1}{b\sqrt{2\pi}}\exp[-\frac{w^2-2(-a-b^2)w+(-a-b^2)^2 }{2b^2} ]\exp[\frac{(-a-b^2)^2-a^2 }{2b^2} ]\text{d}w=$
$=e^((b^2)/2+a) \int_{-ln y}^{oo} \frac{1}{b\sqrt{2\pi}}\exp[-1/2(\frac{w-(-a-b^2) }{ b } )^2]\text{d}w$
Facendo un altro cambio di variabile $z=\frac{w-(-a-b^2) }{ b }$, segue
$\int_0^y x$ $\text{d}\Phi(\frac{-ln x+a}{b})=e^((b^2)/2+a) \int_{(-ln y+a+b^2)/b}^{oo} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}\text{d}z=e^((b^2)/2+a) \int_{-oo}^{(ln y-a-b^2)/b} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}\text{d}z=$
$=e^((b^2)/2+a) \Phi((ln y-a-b^2)/b)$.
Tuttavia il risultato e' sbagliato in quanto dovrebbe essere $\int_0^y x$ $\text{d}\Phi(\frac{-ln x+a}{b})=e^((b^2)/2+a) \Phi((-ln y+a+b^2)/b)$. Qualcuno sa dirmi dove sbaglio?
Risposte
Non devi preoccuparti di quale estremo d'integrazione sia minore o maggiore, basta sostituire:
$\int_0^y x$ $\text{d}\Phi(\frac{-ln x+a}{b})=\int_{oo}^{-lny} \frac{1}{b\sqrt{2\pi}}\exp[-\frac{(w+a)^2}{2b^2} ]e^{-w}\text{d}w$
Dopo, se preferisci avere l'estremo d'integrazione minore in basso, cambi il segno:
$\int_0^y x$ $\text{d}\Phi(\frac{-ln x+a}{b})=-\int_{-lny}^{oo} \frac{1}{b\sqrt{2\pi}}\exp[-\frac{(w+a)^2}{2b^2} ]e^{-w}\text{d}w$
$\int_0^y x$ $\text{d}\Phi(\frac{-ln x+a}{b})=\int_{oo}^{-lny} \frac{1}{b\sqrt{2\pi}}\exp[-\frac{(w+a)^2}{2b^2} ]e^{-w}\text{d}w$
Dopo, se preferisci avere l'estremo d'integrazione minore in basso, cambi il segno:
$\int_0^y x$ $\text{d}\Phi(\frac{-ln x+a}{b})=-\int_{-lny}^{oo} \frac{1}{b\sqrt{2\pi}}\exp[-\frac{(w+a)^2}{2b^2} ]e^{-w}\text{d}w$
Ecco pensavo fosse lì il problema. Mi puoi spiegare dove sbaglio? Non è
$0 -oo<\ln x<\ln y -> -\ln y < w=-\ln x < oo$?
Senza cambiare segno all'integrale intendo. Il $-$ di $-e^(-w)$ cancella con il $-$ nell'integrale in $d x$. NO?
Grazie
$0
Senza cambiare segno all'integrale intendo. Il $-$ di $-e^(-w)$ cancella con il $-$ nell'integrale in $d x$. NO?
Grazie
Senza volerlo, ho inserito il mio ultimo messaggio al posto del primo. Si dovrebbe comunque capire.
"anonymous_0b37e9":
Non devi preoccuparti di quale estremo d'integrazione sia minore o maggiore, basta sostituire
Posto che hai evidentemente ragione, la tua risposta mi fa sorgere dei dubbi atroci (di analisi 1......). PErché non mi devo curare del verso della disuguaglianza?
Se $x$ va integrata nell'intervallo $(0,y)$ e faccio la sostituzione $w=-\ln x$, per modificare l'integrale devo cambiare il differenziale in $d x=x'(w) dw$ e gli estremi di integrazione. Data la sostituzione se $x\in(0,y)$, allora $w\in(-\ln y,oo)$ (mia idea). Tu invece mi suggerisci che deve essere $w\in(oo,-\ln y)$ (e quindi per invertire l'ordine di integrazione cambio segno all'integrale).
Spero di essere riuscito a farti capire cosa non capisco...
Uno degli enunciati del teorema del cambiamento di variabile è il sottostante:
Come puoi osservare, non devi preoccuparti di quale estremo d'integrazione sia minore o maggiore, basta sostituire. Se ti sembra controintuitivo dovresti motivarlo.
P.S.
Se, per esempio, una variabile $x$ è compresa tra $-2$ e $3$, anche il sottoscritto scriverebbe $x in [-2,3]$ e non $x in [3,-2]$. Tuttavia, cosa c'entri questa semplice osservazione con il problema più articolato di cui sopra non è dato sapere.
Come puoi osservare, non devi preoccuparti di quale estremo d'integrazione sia minore o maggiore, basta sostituire. Se ti sembra controintuitivo dovresti motivarlo.
P.S.
Se, per esempio, una variabile $x$ è compresa tra $-2$ e $3$, anche il sottoscritto scriverebbe $x in [-2,3]$ e non $x in [3,-2]$. Tuttavia, cosa c'entri questa semplice osservazione con il problema più articolato di cui sopra non è dato sapere.
GRAZIE MILLE!!!!
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