Integrale funzione razionale fratta denominatore irriducibil

[identikit_man]

Raga qualcuno mi può spiegare il procedimento per calcolare l'integrale nel caso in cui il denominatore è un polinomio di grado>2 e nn si può scomporre nel campo reale; è da un giorno che giro in internet ma nn ho trovato nulla.
L'esercizio è questo: $int x/(x^4+x^2+1)dx$.Come devo fare?

[djyoyo]

poni $x^2=t$ per ottenere il differenziale basta che moltiplichi e dividi per $2$

con le sostituzioni effettuate correttamente ti verrà:

$(1/2)$$\int (1/(t^2+t+1))dx$


che ha delta negativo, quindi procedi con il completamento del quadrato e integri come arcotangente

[gugo82]

Occhio!

Non esistono polinomi di grado $>2$ che siano irriducibili in $RR$; visto che il tuo polinomio non ha radici reali, è sicuramente decomponibile nel prodotto di due polinomi di secondo grado con radici complesse: ciò si vede facendo la sostituzione $t=x^2$ ed un po' di conti.

[identikit_man]

No infatti io ponendo $t=x^2$ il denominatore diventa $t^2+t+1$; e calcolanto le radici ottengo che il polinomio lo posso scomporre come $(t+1/2+(sqrt(3)i)/2)(t+1/2-(sqrt(3)i)/2)$.

[identikit_man]

Non penso che si possa integrare come $arctg$ perchè il libro mi porta questo risultato $ln (sqrt((x^2-x+1))/sqrt((x^2+x+1)))+c$.Il libro invece mi dice che la frazione deve essere scomposta come $(Ax+B)/(x^2+x+1)+(Cx+D)/(x^2-x+1)$ xò non sto riuscendo a capire come ci si arriva.

[gugo82]

Sì, effettivamente la sostituzione non funziona un granché bene...

Allora prova così:

$x^4+x^2+1=(x^4+2x^2+1)-x^2=(x^2+1)^2-x^2$

e l'ultimo membro si scompone come differenza di quadrati.

[ciampax]

"djyoyo":poni $x^2=t$ per ottenere il differenziale basta che moltiplichi e dividi per $2$

con le sostituzioni effettuate correttamente ti verrà:

$(1/2)$$\int (1/(t^2+t+1))dx$


che ha delta negativo, quindi procedi con il completamento del quadrato e integri come arcotangente

Se applichi il completamento di quadrati come suggerito, ottieni

$t^2+t+1=(t+1/2)^2+3/4$ da cui, ponendo $s=\sqrt{3}/2(t+1/2)$ ottieni

$1/2 \int 1/{t^2+t+1}\ dt=\sqrt{3}/4 \int \frac{1}{3/4(s^2+1)}\ ds=\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan s+c=\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan[\sqrt{3}/2(t+1/2)]+c=\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan[\sqrt{3}/2(x^2+1/2)]+c$

che è l'integrale cercato. La soluzione che hai dato tu (con il logaritmo), se la derivi porta alla funzione

${x^2-1}/{x^4+x^2+1}$. Quindi mi sa che hai cannato a leggere la soluzione!

[identikit_man]

No la soluzione è quella perchè adoperando il metodo di gugo viene fuori il risultato del libro.

[ciampax]

"identikit_man":No la soluzione è quella perchè adoperando il metodo di gugo viene fuori il risultato del libro.

La derivata di $\ln(\frac{\sqrt{x^2-x+1}}{\sqrt{x^2+x+1}})$ è $\frac{x^2-1}{x^4+x^2+1}$. Ti sembra che possa essere corretto? Oppure hai sbagliato a scrivere la traccia (cosa molto più probabile a questo punto!) ?