Integrale funzione di due variabili
Buongiorno a tutti,
mi trovo a scrivere per la prima volta presso questo forum pur avendone già potuto apprezzare la validità come strumento di approfondimento.
La problematica che vorrei sottoporre alla vostra attenzione è la seguente: conoscendo le derivate parziali di una funzione di due variabili, è possibile risalire alla primitiva?
Si consideri ad esempio la funzione $ z=f(x,y)=xy $.
Le derivate parziali risulteranno essere:
$ del f // del x = y $
$ del f // del y = x $
In questo modo il differenziale della funzione z risulterà essere: $ dz=ydx+xdy $
In che modo posso risalire alla primitiva? Non riesco infatti ad andare oltre la seguente espressione: $ z=int_(D)^() dz $
Ringrazio anticipatamente dell'attenzione,
Gianluca
mi trovo a scrivere per la prima volta presso questo forum pur avendone già potuto apprezzare la validità come strumento di approfondimento.
La problematica che vorrei sottoporre alla vostra attenzione è la seguente: conoscendo le derivate parziali di una funzione di due variabili, è possibile risalire alla primitiva?
Si consideri ad esempio la funzione $ z=f(x,y)=xy $.
Le derivate parziali risulteranno essere:
$ del f // del x = y $
$ del f // del y = x $
In questo modo il differenziale della funzione z risulterà essere: $ dz=ydx+xdy $
In che modo posso risalire alla primitiva? Non riesco infatti ad andare oltre la seguente espressione: $ z=int_(D)^() dz $
Ringrazio anticipatamente dell'attenzione,
Gianluca
Risposte
Prima di tutto: in generale la primitiva che cerchi potrebbe non esistere (a differenza del caso 1-dimensionale). Consideriamo ad esempio la forma differenziale complessa [tex]\displaystyle \frac{dz}{z}[/tex]. Se la integriamo lungo [tex]\mathcal S^1[/tex] otteniamo
[tex]\displaystyle \int_0^{2\pi} \frac{ie^{i\theta}}{e^{i\theta}} d\theta = 2\pi i \ne 0[/tex]
Ora, se la forma differenziale in questione avesse primitiva, tale integrale dovrebbe essere nullo.
Abbiamo criteri sufficienti per l'esistenza di una primitiva. Ad esempio se [tex]\omega[/tex] è una 1-forma differenziale definita su un insieme semplicemente connesso allora [tex]\omega[/tex] ha una primitiva (cioè è esatta) se e solo se è chiusa. In generale questo è falso: un'osservazione interessante, en passant, è che l'insieme delle forme differenziali esatte forma uno spazio vettoriale che quozientato con lo spazio vettoriale delle forme differenziali chiuse dà uno spazio vettoriale la cui dimensione è sostanzialmente il "numero di buchi" della regione in cui stiamo lavorando.
Le dimostrazioni di questi fatti passano attraverso una teoria elementare dell'omotopia (per un'ottima trattazione elementare puoi vedere il Cartan, Teoria Elementare delle Funzioni Analitiche in una o più variabili complesse). Queste dimostrazioni sono dirette, ma i conti svolti sono spesso algoritmicamente intrattabili... Quindi in linea del tutto generale non c'è un modo per ottenere la tua primitiva in forma chiusa.
[tex]\displaystyle \int_0^{2\pi} \frac{ie^{i\theta}}{e^{i\theta}} d\theta = 2\pi i \ne 0[/tex]
Ora, se la forma differenziale in questione avesse primitiva, tale integrale dovrebbe essere nullo.
Abbiamo criteri sufficienti per l'esistenza di una primitiva. Ad esempio se [tex]\omega[/tex] è una 1-forma differenziale definita su un insieme semplicemente connesso allora [tex]\omega[/tex] ha una primitiva (cioè è esatta) se e solo se è chiusa. In generale questo è falso: un'osservazione interessante, en passant, è che l'insieme delle forme differenziali esatte forma uno spazio vettoriale che quozientato con lo spazio vettoriale delle forme differenziali chiuse dà uno spazio vettoriale la cui dimensione è sostanzialmente il "numero di buchi" della regione in cui stiamo lavorando.
Le dimostrazioni di questi fatti passano attraverso una teoria elementare dell'omotopia (per un'ottima trattazione elementare puoi vedere il Cartan, Teoria Elementare delle Funzioni Analitiche in una o più variabili complesse). Queste dimostrazioni sono dirette, ma i conti svolti sono spesso algoritmicamente intrattabili... Quindi in linea del tutto generale non c'è un modo per ottenere la tua primitiva in forma chiusa.
Grazie mille Maurer,
approfondirò il discorso riferendomi al testo che mi hai consigliato perchè l'argomento mi affascina ma mi manca qualche nozione.
Sapere che in generale non posso ottenere una primitiva dalle sue derivate parziali in forma chiusa risolve comunque il problema che tentavo di risolvere.
Gianluca
approfondirò il discorso riferendomi al testo che mi hai consigliato perchè l'argomento mi affascina ma mi manca qualche nozione.
Sapere che in generale non posso ottenere una primitiva dalle sue derivate parziali in forma chiusa risolve comunque il problema che tentavo di risolvere.
Gianluca
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