Integrale forma differenziale lungo una circonferenza

030366
Salve questo è il mio primo messaggio quindi mi presento sono Tony e sono uno studente di Ingegneria..

sono bloccato su questo esercizio, sull'integrale lungo una circonferenza di una forma differenziale

$ int_(0)^(4pi) (((cos(t)-2))/sqrt((cos(t)-2)^2+sen(t)^2),(sen(t))/sqrt((cos(t)-2)^2+sen(t)^2))*(-sen(t),cos(t)) $

i risultati possibili sono 4$pi$,-4$pi$,0 e 2 $pi$.. a me viene un altro risultato

Risposte
gugo82
Quello è già l'integrale in cui ha sostituito la parametrizzazione, suppongo.

Perchè hai [tex]$4\pi$[/tex] come estremo superiore d'integrazione? Devi percorrere la circonferenza due volte?
Ma poi, hai cercato di verificare se la forma differenziale è esatta? Perchè se lo è i conti non c'è nemmeno bisogno di farli.

030366
si ho sostituito la parametrizzazione della circonferenza centrata in (2,0) di raggio uno percorsa due volte in senso antiorario
questa è la forma: $ w=(x-4)/(sqrt((x-4)^2+y^2)) dx +(y)/(sqrt((x-4)^2+y^2)) dy $

a intuito direi che è chiusa ne frattempo che posto faccio i calcoli.. non sono sicuro del dominio semplicemente connesso

030366
è chiusa. ora per evitare i calcoli se la forma è anche esatta posso dire che l'integrale lungo un percorso chiuso è zero.
per essere anche esatta deve essere chiusa su un dominio semplicemente connesso giusto? è qui il mio problema

gugo82
La tua forma differenziale ha primitiva [tex]$f(x,y)=\sqrt{(x-4)^2+y^2}$[/tex], quindi è esatta.
Il dominio della forma differenziale è [tex]$\mathbb{R}^2\setminus \{(4,0)\}$[/tex] e non è semplicemente connesso; però il circuito d'integrazione non si avvolge intorno al punto [tex]$(4,0)$[/tex] (infatti [tex]$(4,0)$[/tex] sta fuori dalla circonferenza d'equazione [tex]$(x-2)^2+y^2=1$[/tex]), quindi puoi dire subito che l'integrale è nullo.

030366
grazie mille
quindi l'integrale esteso a un percorso chiuso è nullo quando la forma è esatta e ha dominio semplicemente connesso, oppure se il percorso chiuso è in una parte "intera senza buchi" semplicemente connessa del dominio
giusto?
approfondirò l'argomento sicuramente ma la discussione mi è stata utile

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