Integrale doppio...help

[phantom991]

Salve ragazzi...per caso sapreste risolvere questo integrale doppio?

[ciampax]

Il disegno è giusto a metà: se le condizioni sono solo queste

[math]1\le x^2+y^2\le 16,\qquad x\le y[/math]

allora va disegnata tutta la corona circolare e tutta la retta, dopodiché va presa la parte interna alla corona stessa che si trova sopra la retta.
Per la risoluzione, è comodo un cambiamento di coordinate polari

[math]x=r\cos t,\ y=r\sin t[/math]

Così facendo le condizioni per il dominio diventano le seguenti

[math]1\le r\le 4,\qquad \cos t\le\sin t[/math]

le quali, anche guardando il disegno, ti dicono che

[math]r\in[1,4],\qquad t\in\left[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right][/math]

A questo punto, osservando che lo Jacobiano risulta

[math]J=r[/math]

l'integrale diventa

[math]\int_1^4\int_{\pi/4}^{5\pi/4}\frac{r\cos t\ r^2\sin t}{r^2}\ r\ dt\ dr=\int_1^4 r^2\ dr\cdot \int_{\pi/4}^{5\pi/4} \sin t\cos t\ dt[/math]

Aggiunto 31 secondi più tardi:

A questo punto puoi procedere da solo.