Integrale doppio y e x
Salve ho questo integrale doppio con questo dominio:
immagine:
$int int_(D) xy^2 dx dy $
sul libro lo svolge rispetto a x e il risultato è $9/5$ io l'ho provato a fare rispetto a y e l'ho impostato così....
$int_(-1)^(2) y^2int_(0)^(2-y) x dx dy $ e mi esce 11/15
vi posto i passaggi!?!? oppure ho sbagliato gia sull'impostare l'integrale....
immagine:
$int int_(D) xy^2 dx dy $
sul libro lo svolge rispetto a x e il risultato è $9/5$ io l'ho provato a fare rispetto a y e l'ho impostato così....
$int_(-1)^(2) y^2int_(0)^(2-y) x dx dy $ e mi esce 11/15
vi posto i passaggi!?!? oppure ho sbagliato gia sull'impostare l'integrale....
Risposte
"tommik":
nell'altra invece ho fatto così:
$rho^2-2rhosentheta<0$
$rho(rho-2sentheta)<0$
e, essendo $rho>0$, affinché la disuguaglianza sia <0 basta considerare
$rho-2sentheta<0$
è chiaro?
ora si e scusami per la mia ignoranza... ho capito da dove escono gli estermi.. ti volevo chiedere guardando la figura non c'è un modo immediato per trovarli lo stesso!?
mmhhh..per $rho$ non saprei...per $theta$ penso basti calcolare i punti di intersezione delle due circonferenze..ma questo è il metodo più corretto e più immediato...riguardalo bene e vedrai che è molto semplice
anche perché una volta che passi in coordinate polari in realtà non hai più le circonferenze di partenza, espresse in $x$ e $y$ ma avrai una figura piana in un nuovo sistema di assi (appunto polari) $theta$ e $rho$. A volte ci si rifà alla figura iniziale in assi cartesiani perché il problema è molto immediato...qui devi fare attenzione perché c'è una sorta di "centratura" del dominio in coordinate polari verso l'origine, senza però fare un cambio di variabile iniziale
dunque fammi estrarre "l'algoritmo" per svolgere ogni volta il cambio di variabili in polari e i suoi estremi di integrazione.... dal disegno scrivo le disequazioni delle rette,circonferenze ecc che delimitano il dominio e poi sostituisco con le coordinate polari ?!
"guardiax":
dunque fammi estrarre "l'algoritmo" per svolgere ogni volta il cambio di variabili in polari e i suoi estremi di integrazione.... dal disegno scrivo le disequazioni delle rette,circonferenze ecc che delimitano il dominio e poi sostituisco con le coordinate polari ?!
bisogna ragionarci un po'...ci sono vari casi; fai conto che la definizione del dominio è la parte più complicata dell'esercizio...
bisogna valutare diverse cose...
1) forma dell'integranda
2) disequazioni che definiscono il dominio
e poi procedere nei modi che conosci:
1) definire il dominio in coordinate cartesiane (anche se c'è una circonferenza di mezzo)
2) cambiare subito le coordinate, traslando le eventuali circonferenze verso l'origine e successivamente passare in coordinate polari
3) definire gli estremi come abbiamo fatto qui, utilizzando le disequazioni date dal testo (qui nemmeno c'erano)
4) a volte è necessario fare delle partizioni del dominio
...e non è detto che ci sia un unico sistema
diciamo che un pò ho capito... a volte mi capitano esercizi dove ho le disequazioni del dominio e lo devo disegnare.... e molte volte trovo gli estremi in coordinate polari semplicemente guardando il disegno che ho fatto cioè vedere tra quanto varià $rho$ e $vartheta $
"guardiax":
diciamo che un pò ho capito... a volte mi capitano esercizi dove ho le disequazioni del dominio e lo devo disegnare.... e molte volte trovo gli estremi in coordinate polari semplicemente guardando il disegno che ho fatto cioè vedere tra quanto varià $rho$ e $vartheta $
Faccio anch'io così. ...quando riesco
bene invece facendo sempre così non sbaglio mai?! cioè nel cambio di variabili usando il metodo di scrivere prima in forma algebrica e poi sostituire in polari e vedere dove varia rò e theta
"guardiax":
bene invece facendo sempre così non sbaglio mai?! cioè nel cambio di variabili usando il metodo di scrivere prima in forma algebrica e poi sostituire in polari e vedere dove varia rò e theta
ti consiglio di fare un po' di esercizi...anche quelli dove è implicata una funzione di minimo...poi vedi tu come ti trovi meglio...dire "non sbaglio mai" è un'asserzione un po' perentoria....anche perché in tal caso non saresti nemmeno umano
il "non sbaglio mai" era sul metodo cioè se so che l'addizione sommare le quantità 2+2 farà sempre 4 dunque se io faccio(sono io quello che sbaglio, non il metodo) per bene il metodo il risultato sarà giusto
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