Integrale doppio su intersezione due circonferenze
Ho questo integrale doppio:
\(\displaystyle \iint_\Omega xy\ dx\ dy\) con \(\displaystyle \Omega = \{(x,y):x^2+y^2 <1,x^2+y^2<2x,y>0\} \)
Io ho fatto il grafico e trovo che si tratta dell'intersezioni delle due circonferenze nel primo quadrante(dove x>0,y>0). Ho fatto quindi un cambiamento di variabile per risolvere l'esercizio:
\(\displaystyle \tilde{\Omega}=\{\rho<1,\rho<2\cos\theta,\sin\theta>0\}=\{0<\rho<1,\frac{\pi}{3}<\theta<\frac{\pi}{2},0<\theta<\pi\}=\{0<\pi<1,\frac{\pi}{3}<\theta<\frac{\pi}{2}\} \)
Risolvendo con questi dati io ottengo \(\displaystyle \frac{1}{16}(2-sqrt(3)) \)
Il risultato però mi riporta \(\displaystyle 5/48 \).
Sicuramente sto sbagliando qualcosa... Forse dovevo dividere l'intersezione dei cerchi e poi fissare prima \(\displaystyle 0
\(\displaystyle \iint_\Omega xy\ dx\ dy\) con \(\displaystyle \Omega = \{(x,y):x^2+y^2 <1,x^2+y^2<2x,y>0\} \)
Io ho fatto il grafico e trovo che si tratta dell'intersezioni delle due circonferenze nel primo quadrante(dove x>0,y>0). Ho fatto quindi un cambiamento di variabile per risolvere l'esercizio:
\(\displaystyle \tilde{\Omega}=\{\rho<1,\rho<2\cos\theta,\sin\theta>0\}=\{0<\rho<1,\frac{\pi}{3}<\theta<\frac{\pi}{2},0<\theta<\pi\}=\{0<\pi<1,\frac{\pi}{3}<\theta<\frac{\pi}{2}\} \)
Risolvendo con questi dati io ottengo \(\displaystyle \frac{1}{16}(2-sqrt(3)) \)
Il risultato però mi riporta \(\displaystyle 5/48 \).
Sicuramente sto sbagliando qualcosa... Forse dovevo dividere l'intersezione dei cerchi e poi fissare prima \(\displaystyle 0
Risposte
L'uso delle coordinate polari per certi versi è controproducente: infatti il dominio risulta normale e si può separare nei due domini
$$D-1=\{0
Passando a coordinate polari ottieni invece le condizioni
$$\rho^2<1,\ \rho^2<2\rho\cos\theta,\ \rho\sin\theta>0$$
Poiché $\rho>0$ possiamo anche scrivere le precedenti condizioni come
$$0\le\rho <1,\ \rho<2\cos\theta,\ \theta\in[0,\pi]$$.
Tuttavia, se osservi la figura, noterai che il punto di intersezione delle due circonferenze, $(1/2,{\sqrt{3}}/2)$ è fondamentale: avendosi per esso $\theta=\pi/3$ possiamo scrivere
$$D_1=\{0<\theta<\pi/3,\ 0<\rho<1\},\quad D_2=\{\pi/3<\theta<\pi/2,\ 0<\rho<2\cos\theta\}$$
in quanto sulla circonferenza centrata in $(1,0)$ il raggio viene determinato dalla seconda condizione imposta.
Un modo alternativo per vedere le corrette limitazioni in coordinate polari è quello di fare un grafico usando le nuove condizioni, ponendo $\theta$ sull'asse delle ascisse e $\rho$ su quello delle ordinate: non dovrebbe essere difficile vedere che effettivamente, disegnando le tre curve e prendendo le limitazioni, vengono fuori i due domini che ho detto.
Resto comunque dell'idea che procedere con le coordinate cartesiane, in questo caso, sia più veloce.
$$D-1=\{0
$$\rho^2<1,\ \rho^2<2\rho\cos\theta,\ \rho\sin\theta>0$$
Poiché $\rho>0$ possiamo anche scrivere le precedenti condizioni come
$$0\le\rho <1,\ \rho<2\cos\theta,\ \theta\in[0,\pi]$$.
Tuttavia, se osservi la figura, noterai che il punto di intersezione delle due circonferenze, $(1/2,{\sqrt{3}}/2)$ è fondamentale: avendosi per esso $\theta=\pi/3$ possiamo scrivere
$$D_1=\{0<\theta<\pi/3,\ 0<\rho<1\},\quad D_2=\{\pi/3<\theta<\pi/2,\ 0<\rho<2\cos\theta\}$$
in quanto sulla circonferenza centrata in $(1,0)$ il raggio viene determinato dalla seconda condizione imposta.
Un modo alternativo per vedere le corrette limitazioni in coordinate polari è quello di fare un grafico usando le nuove condizioni, ponendo $\theta$ sull'asse delle ascisse e $\rho$ su quello delle ordinate: non dovrebbe essere difficile vedere che effettivamente, disegnando le tre curve e prendendo le limitazioni, vengono fuori i due domini che ho detto.
Resto comunque dell'idea che procedere con le coordinate cartesiane, in questo caso, sia più veloce.
Allora avevo ragione io alla fine... Solo che ugualmente mi viene fuori un risultato errato... Per quanto riguarda le coordinate polari io non ho capito come hai risolto... Non riesco a vedere il doppio dominio nelle 3 condizioni iniziali dopo il cambiamento di variabile...
Risoluzione con coordinate cartesiane:
$$\int_0^{1/2}\int_0^{\sqrt{2x-x^2}} xy\ dy\ dx+\int_{1/2}^1\int_0^{\sqrt{1-x^2}} xy\ dy\ dx=\int_0^{1/2}x\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^{\sqrt{2x-x^2}}\ dx+\int_{1/2}^1 x\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^{\sqrt{1-x^2}}\ dx=\\
\int_0^{1/2}\frac{1}{2}(2x^2-x^3)\ dx+\int_{1/2}^1 \frac{1}{2}(x-x^3)\ dx=\frac{1}{2}\left(\left[\frac{2x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right]_0^{1/2}+\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]_{1/2}^1\right)=\\
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{12}-\frac{1}{64}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\frac{1}{64}\right)=\frac{5}{48}$$
Per quanto riguarda le coordinate polari, il grafico da considerare è il seguente:

Come puoi osservare, il dominio da considerare è quello limitato dai due assi, dalla retta in rosso e dalla curva in verde. Esso si divide nei due domini che ti ho scritto prima (basta trovare le coordinate del punto di intersezione $1=2\cos\theta$) e poi andare a calcolare gli integrali (che però diventano una seccatura, secondo me).
$$\int_0^{1/2}\int_0^{\sqrt{2x-x^2}} xy\ dy\ dx+\int_{1/2}^1\int_0^{\sqrt{1-x^2}} xy\ dy\ dx=\int_0^{1/2}x\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^{\sqrt{2x-x^2}}\ dx+\int_{1/2}^1 x\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^{\sqrt{1-x^2}}\ dx=\\
\int_0^{1/2}\frac{1}{2}(2x^2-x^3)\ dx+\int_{1/2}^1 \frac{1}{2}(x-x^3)\ dx=\frac{1}{2}\left(\left[\frac{2x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right]_0^{1/2}+\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]_{1/2}^1\right)=\\
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{12}-\frac{1}{64}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\frac{1}{64}\right)=\frac{5}{48}$$
Per quanto riguarda le coordinate polari, il grafico da considerare è il seguente:

Come puoi osservare, il dominio da considerare è quello limitato dai due assi, dalla retta in rosso e dalla curva in verde. Esso si divide nei due domini che ti ho scritto prima (basta trovare le coordinate del punto di intersezione $1=2\cos\theta$) e poi andare a calcolare gli integrali (che però diventano una seccatura, secondo me).
Grazie, penso che il sistema con le coordinate cartesiane sia il più intelligente.

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