Integrale doppio su ellisse
Ho il seguente dominio:
$A=(x^2+4y^2<=20,3x-2y<=10)$
Riconosco l'ellisse che porto in forma canonica $(\frac(x)(2\sqrt(5)))^2+(\frac(y)(\sqrt(5)))^2<=1$
Disegno l'ellisse e riporto anche la retta che taglia l'ellisse nei punti $P_1=(4,1)$ e $P_2=(2,-2)$
Penso quindi di dividere il dominio in 3 parti e di sommare il tutto... La parte relativa all'intervallo $(-2\sqrt(5),0)$ la penso come un integrale su un mezzo ellisse, effettuo il cambiamento di coordinate ed ottengo:
$\int_(0)^(1)\int_(\pi/2)^(3\pi/2) ab\rho \rho cos(\theta)d\rho d\theta=10 (\frac(\rho^3)(3)) sen(\theta)|_(3\pi/2)^(\pi/2) = -40/3$
Il secondo integrale lo penso come l'ellisse nell'intervallo $x\epsilon(0,2)$
$\int_(0)^(2)\int_(-\sqrt(20-x^2)/2)^(\sqrt(20-x^2)/2) xdy dx = -1/3 (16^(3/2)-20^(3/2))$
Per ultimo ho calcolato nell'intervallo $x \epsilon (2,4)$
$\int_(2)^(4)\int_(\frac(3x-10)(2))^(\sqrt(20-x^2)/2) x dy dx = -2/3 (4^(3/2)-16^(3/2)) -1/2(56)+5/2(4)$
Ho provato a sommare tutto e semplificare qualche esponente ma il risultato è diversissimo dal risultato corretto 10 che ho come soluzione... Ho forse risolto nel modo sbagliato??? Ho fatto qualcosa che non dovevo fare?
Grazie
$A=(x^2+4y^2<=20,3x-2y<=10)$
Riconosco l'ellisse che porto in forma canonica $(\frac(x)(2\sqrt(5)))^2+(\frac(y)(\sqrt(5)))^2<=1$
Disegno l'ellisse e riporto anche la retta che taglia l'ellisse nei punti $P_1=(4,1)$ e $P_2=(2,-2)$
Penso quindi di dividere il dominio in 3 parti e di sommare il tutto... La parte relativa all'intervallo $(-2\sqrt(5),0)$ la penso come un integrale su un mezzo ellisse, effettuo il cambiamento di coordinate ed ottengo:
$\int_(0)^(1)\int_(\pi/2)^(3\pi/2) ab\rho \rho cos(\theta)d\rho d\theta=10 (\frac(\rho^3)(3)) sen(\theta)|_(3\pi/2)^(\pi/2) = -40/3$
Il secondo integrale lo penso come l'ellisse nell'intervallo $x\epsilon(0,2)$
$\int_(0)^(2)\int_(-\sqrt(20-x^2)/2)^(\sqrt(20-x^2)/2) xdy dx = -1/3 (16^(3/2)-20^(3/2))$
Per ultimo ho calcolato nell'intervallo $x \epsilon (2,4)$
$\int_(2)^(4)\int_(\frac(3x-10)(2))^(\sqrt(20-x^2)/2) x dy dx = -2/3 (4^(3/2)-16^(3/2)) -1/2(56)+5/2(4)$
Ho provato a sommare tutto e semplificare qualche esponente ma il risultato è diversissimo dal risultato corretto 10 che ho come soluzione... Ho forse risolto nel modo sbagliato??? Ho fatto qualcosa che non dovevo fare?
Grazie

Risposte
Per prova, ho calcolato l'integrale sull'ellisse completo e poi ho provato a togliere il pezzettino tagliato fuori dalla retta... Con delle semplici coordinate ellittiche ho calcolato l'integrale pari a 0, quindi nullo... Ho poi calcolato l'integrale sul pezzettino che dovevo sottrarre, ma alla fine avevo un sacco di valori impossibili... Brutalmente calcolato con la calcolatrice, esce fuori, cambiato di segno, $-9.94$, vicino a 10,ma non è 10... Non ho capito perchè, ma speravo che almeno uno dei due metodi mi fornisse il risultato esatto...
Ne approfitto per fare un UP
Ne approfitto per fare un UP

Piccolo UP per riportare alla luce questo 3d
