Integrale doppio su ellisse

[Mito125]

Ho il seguente dominio:

$A=(x^2+4y^2<=20,3x-2y<=10)$

Riconosco l'ellisse che porto in forma canonica $(\frac(x)(2\sqrt(5)))^2+(\frac(y)(\sqrt(5)))^2<=1$

Disegno l'ellisse e riporto anche la retta che taglia l'ellisse nei punti $P_1=(4,1)$ e $P_2=(2,-2)$

Penso quindi di dividere il dominio in 3 parti e di sommare il tutto... La parte relativa all'intervallo $(-2\sqrt(5),0)$ la penso come un integrale su un mezzo ellisse, effettuo il cambiamento di coordinate ed ottengo:

$\int_(0)^(1)\int_(\pi/2)^(3\pi/2) ab\rho \rho cos(\theta)d\rho d\theta=10 (\frac(\rho^3)(3)) sen(\theta)|_(3\pi/2)^(\pi/2) = -40/3$

Il secondo integrale lo penso come l'ellisse nell'intervallo $x\epsilon(0,2)$

$\int_(0)^(2)\int_(-\sqrt(20-x^2)/2)^(\sqrt(20-x^2)/2) xdy dx = -1/3 (16^(3/2)-20^(3/2))$

Per ultimo ho calcolato nell'intervallo $x \epsilon (2,4)$

$\int_(2)^(4)\int_(\frac(3x-10)(2))^(\sqrt(20-x^2)/2) x dy dx = -2/3 (4^(3/2)-16^(3/2)) -1/2(56)+5/2(4)$

Ho provato a sommare tutto e semplificare qualche esponente ma il risultato è diversissimo dal risultato corretto 10 che ho come soluzione... Ho forse risolto nel modo sbagliato??? Ho fatto qualcosa che non dovevo fare?

Grazie

[Mito125]

Per prova, ho calcolato l'integrale sull'ellisse completo e poi ho provato a togliere il pezzettino tagliato fuori dalla retta... Con delle semplici coordinate ellittiche ho calcolato l'integrale pari a 0, quindi nullo... Ho poi calcolato l'integrale sul pezzettino che dovevo sottrarre, ma alla fine avevo un sacco di valori impossibili... Brutalmente calcolato con la calcolatrice, esce fuori, cambiato di segno, $-9.94$, vicino a 10,ma non è 10... Non ho capito perchè, ma speravo che almeno uno dei due metodi mi fornisse il risultato esatto...

Ne approfitto per fare un UP

[Mito125]

Piccolo UP per riportare alla luce questo 3d