Integrale doppio - punti di frontiera

[studente_studente]

Buonasera, non ho ben chiaro una cosa che ho scritto nel quaderno.. mi spiego meglio: non so da dove esce questa conclusione nonostante abbia letto più volte i teoremi ancora mi sfugge..

Non credo sia il caso di pubblicare tutto l'integrale (in caso contrario, provvederò assolutamente).

Allora l'esercizio consiste nel calcolare l'integrale esteso all'insieme A della funzione f, nel procedimento effettuo un cambio di coordinate da cartesiane a polari.
Il problema è: nell'insieme A di partenza è incluso il polo 0 che, però, non ha coordinate polari (0 è pure punto di frontiera in questo caso); qui ho fatto una freccia con scritto "posso aggiungere/levare i punti i frontiera tanto l'integrale non cambia". Ma perché? Ho l'impressione di avere la risposta sotto il naso ahimè.. spero possiate aiutarmi, vorrei tanto colmare questa mancanza,"lacuna".

Vi ringrazio in anticipo per le vostre eventuali risposte

[donald_zeka]

E' una questione di misura, avendo fatto gli integrali doppi ti avranno anche spiegato, suppongo, cos'è la misura di un insieme (misura di Peano-Jordan). Ecco si può dimostrare che se due insiemi A e B su cui si vuole calcolare un certo integrale differiscono per un insieme di misura nulla, allora l'integrale calcolato su A è uguale a quello calcolato su B. Un insieme di misura nulla può essere di qualsiasi tipo, può essere un punto, oppure una retta, oppure la frontiera stessa del dominio...in pratica quindi se la frontiera di un dominio ha misura nulla allora l'integrale calcolato sul dominio oppure sul dominio meno la frontiera è lo stesso. Nel tuo caso, togliendo un punto al dominio non fai altro che togliere un insieme di misura nulla, quindi non cambi l'integrale, di punti ne potresti levare quanti ne vuoi, infatti anche togliendo un miliardo di punti l'integrale non cambia.

[studente_studente]

Aaah ecco, non avendo fatto la dimostrazione me lo ero completamente scordato! Appena ho un attimo comunque la guardo così evito di dimenticarlo ancora eheh

Grazie mille per il chiarimento!