Integrale doppio.. problemi con l'angolo $\theta$..coord polari

[21zuclo]

Ciao a tutti, sto ripassando gli integrali doppi. In questo esercizio ho difficoltà con l'angolo $\theta$ in coordinate polari. Aiutatemi per favore.

Calcolare $ \int_(A) y(2-x^2-y^2)dxdy $ ove $ A=\{((x),(y))\in RR^2 t.c. x^2-2x+y^2\leq 0, y\geqx\} $

ho provato a risolvere così

$ x^2-2x+y^2\leq 0\to (x-1)^2+y^2\leq 1 $ è una circonferenza con centro $ C=((1),(0)) $

poi va bé $y\geq x$ è la bisettrice.

In pratica la figura dell'insieme $A$ (purtroppo non so disegnare qui), è il pezzo di circonferenza tagliato dalla bisettrice a sinistra.

(non so se mi sono sbiegato bene).

Ora passo in coordinate polari $ x^2-2x+y^2\leq0\to \rho^2-2\rho cos\theta\leq 0\to \rho\leq 2 cos\theta $

quindi $ \rho \in [0, 2cos\theta] $

ora ci manca l'angolo $\theta$ che putroppo non riesco ad individuare dove farlo variare.. sicuramente visto che c'è la bisettrice vi sarà un $\pi/4$

quindi sicuramente $\theta \in [\pi/4,....]$


l'altro estremo mi manca..

[ciampax]

Per prima cosa, più che usare le coordinate polari centrate nell'origine, conviene usare quelle centrate nel centro della circonferenza, cioè queste: $x=1+\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta$. Fatto questo, si cede subito che il dominio di integrazione è il settore circolare delimitato dalla bisettrice. Una veloce indagine rispetto ai punti di intersezione tra circonferenza e retta, ti farà accorgere che $\theta\in[\pi/2,\pi]$. Per quanto riguarda la limitazione per $\rho$, invece, osserva che dall'alto essa è limitata dalla circonferenza, per cui $\rho\le 1$. Dal basso, invece, è la retta a limitarla, per cui
$$\rho\sin\theta\ge 1+\rho\cos\theta\ \Rightarrow\ \rho(\sin\theta-\cos\theta)\ge 1\ \Rightarrow\ \rho\ge\frac{1}{\sin\theta-\cos\theta}$$
(osserva che la differenza delle funzioni trigonometriche potrebbe essere negativa. Tuttavia, sul secondo quadrante, dove varia l'angolo, il seno è positivo e il cose no è negativo, per cui quella differenza risulta sempre positiva).
Pertanto il tuo integrale diventa
$$\int_{\pi/2}^\pi\int_{1/(\sin\theta-\cos\theta)}^1 \rho\cos\theta(1-2\rho\cos\theta-\rho^2)\rho\ d\rho\ d\theta$$

P.S.: vorrei osservare una cosa: il dominio di integrazione è normale e si vede facilmente che
$$0\le x\le 1,\qquad x\le y\le \sqrt{2x-x^2}$$
Io troverei più comodo integrare questo:
$$\int_0^1\int_x^{\sqrt{2x-x^2}} y(2-x^2-y^2)\ dy\ dx$$

[21zuclo]

capito il tuo ragionamento.

Si in effetti potevo usare le coordinate polari e traslare nell'origine la circonferenza

però sempre non capisco l'angolo $\theta$ tu dici che varia tra $\theta \in [\pi/2, \pi]$

ora avendo traslato nell'origine la circonferenza.. è di questa forma $x^2+y^2\leq 1$

ho fatto il disegno.. perchè dici che un estremo dell'angolo $\theta$ è $\pi/2$.. io avrei detto $\pi/4$..

vorrei solo capire.. putroppo alcuni angoli in $\theta$ mi vengono, altri invece no tipo negli altri esercizi mi sono venuti..

p.s.: si forse è più semplice risolvere l'integrale con le disuguaglianze, vorrei solo capire l'angolo $\theta$ perchè a volte mi viene e a volte no

[ciampax]

Gli angoli devi calcolarli dal centro della circonferenza, ciccio!

[21zuclo]

EDIT: che scemo che sono.. me ne accorgo dal disegno!..