Integrale doppio in coordinate polari, con risultato non dipendente dall'angolo

[Carmine_XX]

Salve a tutti,
Negli ultimi tempi, per vari motivi, ho perso la mano con i diversi esercizi di analisi; per cui probabilmente questa domanda può apparire piuttosto banale. Si tratta di un integrale in due variabili, che riesco a risolvere, ma ho un dubbio riguardo il risultato (quello che ottengo è differente da quello che viene proposto nell'eserciziario che sto utilizzando).

L'integrale è questo:

$ int int_(E)^() (ln(x^2+y^2+5))/(x^2+y^2+5) dx dy $

Da integrare nel dominio:

$ E = {(x,y) : 1 <= x^2 + y^2 <= 4, y >= |x|} $

Cosa ho fatto:

1) Dato il dominio, ho spostato l'integrazione in coordinate polari. Ricalcolando gli estremi e facendo le opportune sostituzioni, ottengo:

$ int_(pi/4)^(3pi/4) dvartheta int_(2)^(1) ln(rho^2 + 5)/(rho^2 + 5) rho drho $

2) A questo punto, vado ad integrare l'integrale indefinito in $drho$:

$ int ln(rho^2 + 5)/(rho^2 + 5) rho drho => int ln(t)/(t) 1/(2rho) rho dt [rho^2 + 5 = t] $

3) Calcolo la primitiva:
$ 1/2 int ln(t)/(t) dt => 1/2 ln^2(t)/2 + c $

4) Ri-sostituisco e calcolo l'integrale definito:

$ ln^2(rho^2 + 5)/4 |_1^2 $

$ => int_(pi/4)^(3/4pi) 1/4 (ln^2(9) - ln^2(6)) dvartheta $

5) E a questo punto mi blocco... Dimentico qualcosa? (probabilmente sarà di una banalità imbarazzante...)

P.s: Questa è la soluzione da eserciziario:

$ I = pi/8(ln^2(3) - ln^2(sqrt(6))) $

[Scotti1]

Ciao Carmine

se guardi bene risulta:

$ 1/4 (ln^2(9) - ln^2(6)) =(ln^2(3) - ln^2(sqrt(6)))$

a questo punto la soluzione deve essere:

$ I = pi/2(ln^2(3) - ln^2(sqrt(6))) $

Probabilmente c'è un errore sul libro: con $1/4$ di troppo.

Bye