Integrale doppio in coordinate polari
ciao a tutti..
devo calcolare il seguente integrale: $int intx^2/(x^2+y^2) dxdy$ in coordinate polari, il cui dominio è formato dal triangolo: A(0,0) B(1,1) C(1-1).
Per prima cosa ho calcolato le rette passanti per i punti e molto semplicemente viene: retta AB: $x=y$ retta AC $x=-y$ retta BC$y=1$.
Bene, considerando che in coordinate polari: $x=\rhocos\varphi$ e $y=\rhosin\varphi$ io mi blocco. non riesco a capire come si determina il dominio.
Ho già disegnato la figura, molto semplice ma non riesco proprio a capire come determinare il dominio di x e di y.
HELP..... qualche suggerimento?
devo calcolare il seguente integrale: $int intx^2/(x^2+y^2) dxdy$ in coordinate polari, il cui dominio è formato dal triangolo: A(0,0) B(1,1) C(1-1).
Per prima cosa ho calcolato le rette passanti per i punti e molto semplicemente viene: retta AB: $x=y$ retta AC $x=-y$ retta BC$y=1$.
Bene, considerando che in coordinate polari: $x=\rhocos\varphi$ e $y=\rhosin\varphi$ io mi blocco. non riesco a capire come si determina il dominio.
Ho già disegnato la figura, molto semplice ma non riesco proprio a capire come determinare il dominio di x e di y.
HELP..... qualche suggerimento?
Risposte
"Gi8":Sempre peggio.[...][/quote]
[quote="Ziel van brand"]$y/x$ non è la tangente dell'angolo.
ok basta.
non rispondo alle provocazioni.
che sia una terza persona a rendere più chiara la questione a me o a te.
buona continuazione
Riguardando meglio, effettivamente hai ragione tu. La soluzione corretta è la tua.
Ho commesso l'erroraccio di passare da $y>sqrt2/2 x $ a $y/x>sqrt2/2$, ma non sono equivalenti.
Se $x$è negativa e $y$ positiva allora è verificata la prima ma non la seconda.
Proprio un erroraccio da superiori (
)
Però che sia $y/x=tg(theta)$ non ci piove
Ho commesso l'erroraccio di passare da $y>sqrt2/2 x $ a $y/x>sqrt2/2$, ma non sono equivalenti.
Se $x$è negativa e $y$ positiva allora è verificata la prima ma non la seconda.
Proprio un erroraccio da superiori (
)Però che sia $y/x=tg(theta)$ non ci piove
"Gi8":
Riguardando meglio, effettivamente hai ragione tu. La soluzione corretta è la tua.
Però che sia $y/x=tg(theta)$ non ci piove
da wikipedia: http://it.wikipedia.org/wiki/Coefficiente_angolare
$m = tan \theta$
una retta generica ha equazione $ y = mx +q$
già da qui vedi che il rapporto $y/x$ non è sempre uguale a m.
ora consideriamo solo le rette passanti per l'origine: $ y = mx$
questa equazione si può riscrivere come $ y/x = m$ e quindi il rapporto y/x RISULTA essere uguale alla tangente. e quindi qui hai straragione.
ma se consideri il semipiano $ y \ge mx$, qui il rapporto y/x è maggiore uguale al coefficiente angolare m della retta $ y = mx$.
la precedente disequazione afferma che $ y/x \ge tan \theta$.
quindi "non ci piove" che il rapporto y/x sia uguale alla tangente NELLE RETTE. ma se hai un semipiano $ y \ge mx$ quel rapporto è sempre maggiore uguale a m.
edit:
ovviamente in tutti questi discorsi, se x = 0, ce ne freghiamo e diciamo che $ m = \infty $
o, in un gergo che almeno non attira l'ira irrefrenabile dei matematici: "se abbiamo una retta verticale, l'equazione $y = mx +q$ non può descriverla perchè porta a trattare con infinito, questo perchè tale equazione è stata ricavata con m uguale ad un rapporto di due quantità, il cui denominatore si annulla quando abbiamo rette verticali." detto male, ma wiki spiega meglio di me ^^
"Gi8":
[...]
Ho commesso l'erroraccio di passare da $y>sqrt2/2 x $ a $y/x>sqrt2/2$, ma non sono equivalenti.
Se $x$è negativa e $y$ positiva allora è verificata la prima ma non la seconda.
Proprio un erroraccio da superiori (
[...]
ah ecco grazie
è questo che non tornava bene nel mio discorso. anche io ho fatto un erroraccio da superiori
"Ziel van brand":Ti chiedo scusa, non era mia intenzione provocare o mettere in dubbio le conoscenze di nessuno
ok basta.
non rispondo alle provocazioni.
che sia una terza persona a rendere più chiara la questione a me o a te.
buona continuazione
Ero convintissimo di qualcosa che poi si è rivelata sbagliata (ripeto: erroraccio da 1-2 superiore), tutto qui.
Quando uno è convinto, è difficile fargli cambiare idea.
Quanto al $y/x$ e $tg(theta)$, io parlo di quando si fa la sostituzione :
${(x=rho*cos(theta)),(y=rho*sin(theta)):}=> {(rho^2=x^2+y^2),(tg(theta)=y/x):}$
Questo, nient'altro
"Gi8":Ti chiedo scusa, non era mia intenzione provocare o mettere in dubbio le conoscenze di nessuno
[quote="Ziel van brand"]ok basta.
non rispondo alle provocazioni.
che sia una terza persona a rendere più chiara la questione a me o a te.
buona continuazione
Ero convintissimo di qualcosa che poi si è rivelata sbagliata (ripeto: erroraccio da 1-2 superiore), tutto qui.
Quando uno è convinto, è difficile fargli cambiare idea.
Quanto al $y/x$ e $tg(theta)$, io parlo di quando si fa la sostituzione :
${(x=rho*cos(theta)),(y=rho*sin(theta)):}=> {(rho^2=x^2+y^2),(tg(theta)=y/x):}$
Questo, nient'altro[/quote]
in realtà anche io ho un po' la coda di paglia
lì funzia. non c'è niente di esoterico lì. proprio perchè hai uguaglianze e cioè, nei termini di quanto detto finora, delle rette.
la conclusione di tutto ciò direi che è...
meglio guardare il grafico e intuire già da lì come devono funzione più o meno gli intervalli entro cui variano $\theta$ e $\rho$.
per dare poi una chiara e semplice risposta ad ema che si perde quando m è un numero generico:
[size=150]$m = \tan \theta$[/size]
questo puoi scolpirlo nella pietra
rigirando questo 11° comandamento trovi UN angolo (che è UN estremo dell'intervallo entro cui varia $\theta$) che deve stare necessariamente tra $[-pi/2, \pi/2]$ (perchè l'artangente ha immagine... etc etc). l'altro angolo (e quindi l'altro estremo dell'intervallo) lo ottieni semplicemente aggiungendo $\pi$ a quello appena trovato. ed ecco trovato l'intervallo entro cui varia $\theta$.
un'ultima occhiata al grafico, e poi inizi a svolgere l'integrale
"Ziel van brand":
cosa è il coefficiente angolare m delle rette in termini di $\theta$?
$m = tan \theta$
non sto qui a spiegare il perchè con parole mie. wikipedia lo fa sicuramente meglio: http://it.wikipedia.org/wiki/Coefficiente_angolare
nel tuo caso $tan \theta = \frac{\sqrt 2}{2}$
quindi vabbeh... l'artan di $\frac{\sqrt 2}{2}$ non è un angolo "noto" (almeno non per me o.o) ma fa niente.
sai che la tangente è periodica di periodi $\pi$. quindi fai il grafico della tangente tra 0 e $2\pi$. tiri una bella retta orizzontale all'altezza in cui la tangente vale $\frac{\sqrt 2}{2}$ (ovviamente è un'altezza a caso). e vedi che tale retta interseca la tangente in due punti nell'intervallo $0, 2\pi$. in corrispondenza di quei due punti, hai quindi 2 angoli.
per farla breve: $artan (\frac{\sqrt 2}{2}) <\theta< artan (\frac{\sqrt 2}{2}) + \pi$
è quel che è... na schifezza... ma vabbeh...
Ciao Ziel, Gi8.
Innanzitutto grazie delle vostre risposte ed analisi, parto da questa risposta perchè mi è stata molto chiara e quindi utile.
Strano non avessi trovato una spiegazione chiara in tutto il web. Tra l'altro adesso mi tornano molte cose.
Neanche a farlo a posta, ieri ho girato pagina nel libro e trovo un esercizio che richiedeva questa teoria. Cioè l'individuazione di $\theta$ era non banale.
Grazie ancora
Emanuele
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