Integrale doppio in coordinate polari
ciao a tutti..
devo calcolare il seguente integrale: $int intx^2/(x^2+y^2) dxdy$ in coordinate polari, il cui dominio è formato dal triangolo: A(0,0) B(1,1) C(1-1).
Per prima cosa ho calcolato le rette passanti per i punti e molto semplicemente viene: retta AB: $x=y$ retta AC $x=-y$ retta BC$y=1$.
Bene, considerando che in coordinate polari: $x=\rhocos\varphi$ e $y=\rhosin\varphi$ io mi blocco. non riesco a capire come si determina il dominio.
Ho già disegnato la figura, molto semplice ma non riesco proprio a capire come determinare il dominio di x e di y.
HELP..... qualche suggerimento?
devo calcolare il seguente integrale: $int intx^2/(x^2+y^2) dxdy$ in coordinate polari, il cui dominio è formato dal triangolo: A(0,0) B(1,1) C(1-1).
Per prima cosa ho calcolato le rette passanti per i punti e molto semplicemente viene: retta AB: $x=y$ retta AC $x=-y$ retta BC$y=1$.
Bene, considerando che in coordinate polari: $x=\rhocos\varphi$ e $y=\rhosin\varphi$ io mi blocco. non riesco a capire come si determina il dominio.
Ho già disegnato la figura, molto semplice ma non riesco proprio a capire come determinare il dominio di x e di y.
HELP..... qualche suggerimento?
Risposte
io non lo farei in coordinate polari...
è l'esercizio che me lo chiede. so che si usano per le circonferenze o ellissi però questo è l'esercizio.
per favore mi puoi spiegare come calcolare il dominio? sono veramente in difficoltà da ieri...
per favore mi puoi spiegare come calcolare il dominio? sono veramente in difficoltà da ieri...
DIrei che $D={(x,y)in RR^2| 0<=x<=1,-x<=y<=x }$
ma perché' come si fa a calcolare la x? e come la y? è questo che non capisco, i risultati dei domini ce li ho... ma non riesco a trovarlo io, non ho un metodo...
e soprattutto in coordinate polari come dovrei fare?
per trovare gli estremi di integrazione:
- disegni il triangolo
- osservi in che intervallo variano x e y. in questo caso hai: $0
- a te interessano tutte le y che stanno tra queste due rette, quindi y deve variare tra x e -x, e cioè: $-x
la scelta di quale delle due variabili esprimere in funzione dell'altra è arbitraria, ma certe scelte possono risultare più o meno semplici di altre. se avessimo scelto di fissare y nel range $-1
una volta che hai gli intervalli (qualunque essi siano tra le scelte possibili) entro cui x e y variano, "convertirli" in coordinate polari è in genere facile:
$-x < y < x$ -> $- \rho cos \theta < \rho sin \theta < \rho cos \theta $ - > $- cos \theta < sin \theta < cos \theta $ questo è vero se (guarda SEMPRE la figura - il triangolo) $- \pi/2 < \theta < \pi/2$
$0 $0<\rho cos \theta < 1<$ -> $0<\rho < \frac{1}{cos \theta}$ dove è possibile dividere per il coseno perchè questo non si annulla nel range appena trovato entro cui vai $\theta$-
- disegni il triangolo
- osservi in che intervallo variano x e y. in questo caso hai: $0
- a te interessano tutte le y che stanno tra queste due rette, quindi y deve variare tra x e -x, e cioè: $-x
la scelta di quale delle due variabili esprimere in funzione dell'altra è arbitraria, ma certe scelte possono risultare più o meno semplici di altre. se avessimo scelto di fissare y nel range $-1
una volta che hai gli intervalli (qualunque essi siano tra le scelte possibili) entro cui x e y variano, "convertirli" in coordinate polari è in genere facile:
$-x < y < x$ -> $- \rho cos \theta < \rho sin \theta < \rho cos \theta $ - > $- cos \theta < sin \theta < cos \theta $ questo è vero se (guarda SEMPRE la figura - il triangolo) $- \pi/2 < \theta < \pi/2$
$0
finalmente una spiegazione dettagliata. Mi è molto utile.
adesso però ho qualche domanda...
a) non ho capito come mai se fissiamo la y il range della x viene $|y|<=x<=1$.
b) se prendiamo ad esempio quest'altro esercizio:
calcolare l'area della curva delimitata da $y=sinx$ e dalla retta congiungente i punti (0,0) e $(\pi/2 , 1)$.
l'integrale doppio viene $int_0^\(pi/2) int_(2/\pix)^sinx dydx$.
Il dominio del primo integrale l'ho capito, mentre il dominio del secondo integrale, ovvero $int_(2/\pix)^sinx dydx$ sinceramente non l'ho capito.
adesso però ho qualche domanda...
a) non ho capito come mai se fissiamo la y il range della x viene $|y|<=x<=1$.
b) se prendiamo ad esempio quest'altro esercizio:
calcolare l'area della curva delimitata da $y=sinx$ e dalla retta congiungente i punti (0,0) e $(\pi/2 , 1)$.
l'integrale doppio viene $int_0^\(pi/2) int_(2/\pix)^sinx dydx$.
Il dominio del primo integrale l'ho capito, mentre il dominio del secondo integrale, ovvero $int_(2/\pix)^sinx dydx$ sinceramente non l'ho capito.
c) nle caso in cui io abbia $int xy/(x^2+y^2)$ con D: $1<=x^2+y^2<=4, x>0 , y>0$.
perchè le coordinate polari mi danno questo risultato?
$1<=\rho<=2$ e $0<=\varphi<=\pi/2$ ?
perchè le coordinate polari mi danno questo risultato?
$1<=\rho<=2$ e $0<=\varphi<=\pi/2$ ?
"l0r3nzo":
c) nle caso in cui io abbia $int xy/(x^2+y^2)$ con D: $1<=x^2+y^2<=4, x>0 , y>0$.
perchè le coordinate polari mi danno questo risultato?
$1<=\rho<=2$ e $0<=\varphi<=\pi/2$ ?
se ti provi a disegnare il dominio vedrai che si tratta di una sezione di corona circolare ($1<=x^2+y^2<=4$) posta nel primo quadrante ($x>0 , y>0$)
a) lo vedi bene se disegni il triangolo in un grafico in cui l'asse orizzontale e quello verticale siano scambiati: l'asse verticale è quello delle x, quello orizzontale le y. in questo grafico il triangolo appare ruotato, lo vedi così: $\nabla$.
ora riapplica quanto ho scritto tenendo conto che stavolta y (CHE STA SULL'ASSE ORIZZONTALE) è libero di variare tra -1 e 1.
b) disegna il grafico. l'equazione della retta in questione è $y = 2/\pix$. il seno sta sopra questa retta.
tutti i punti allora compresi tra la retta ed il seno, hanno ordinata che sta tra $y = sin x$ e $y = 2/\pi x$. ed ecco quindi che hai ottenuto l'intervallo entro cui varia y: $2/\pi x < y < sin x$
ora riapplica quanto ho scritto tenendo conto che stavolta y (CHE STA SULL'ASSE ORIZZONTALE) è libero di variare tra -1 e 1.
b) disegna il grafico. l'equazione della retta in questione è $y = 2/\pix$. il seno sta sopra questa retta.
tutti i punti allora compresi tra la retta ed il seno, hanno ordinata che sta tra $y = sin x$ e $y = 2/\pi x$. ed ecco quindi che hai ottenuto l'intervallo entro cui varia y: $2/\pi x < y < sin x$
"itpareid":
[quote="l0r3nzo"]c) nle caso in cui io abbia $int xy/(x^2+y^2)$ con D: $1<=x^2+y^2<=4, x>0 , y>0$.
perchè le coordinate polari mi danno questo risultato?
$1<=\rho<=2$ e $0<=\varphi<=\pi/2$ ?
se ti provi a disegnare il dominio vedrai che si tratta di una sezione di corona circolare ($1<=x^2+y^2<=4$) posta nel primo quadrante ($x>0 , y>0$)[/quote]
si lo so, è un pdf con degli esercizi svolti e ho il disegno davanti. ciò che non ho capito di questo esercizio è la trasformazione in coordinate polari.
sai bene come son definite le coordinate polari almeno?
"Ziel van brand":
a) lo vedi bene se disegni il triangolo in un grafico in cui l'asse orizzontale e quello verticale siano scambiati: l'asse verticale è quello delle x, quello orizzontale le y. in questo grafico il triangolo appare ruotato, lo vedi così: $\nabla$.
ora riapplica quanto ho scritto tenendo conto che stavolta y è libero di variare tra -1 e 1.
la retta congiungente quel lato del triangolo è y=1. disegno sempre i grafici che sennò non ci capisco niente...
però se mi torna tutto ciò fin detto adesso qua vado in bambola e non so perchè. Comunque ora ho visto i lperchè x varia tra y e 1.... però da solo non ci sarei mai arrivato "Ziel van brand":
b) disegna il grafico. l'equazione della retta in questione è $y = 2/\pix$. il seno sta sopra questa retta.
tutti i punti allora compresi tra la retta ed il seno, hanno ordinata che sta tra $y = sin x$ e $y = 2/\pi x$. ed ecco quindi che hai ottenuto l'intervallo entro cui varia y: $2/\pi x < y < sin x$
eh... ma io avrei messo, come dominio relativo all'asse y, $int_0^sinx$...
"Ziel van brand":
sai bene come son definite le coordinate polari almeno?
so cosa si deve mettere al posto della x e della y. conosco la formula dell'integrale con le coordinate polari e conosco la matrice jacobiana, o per lo meno la so calcolare. però ti giuro che ci son sopra da 48 ore su questi integrali doppi e non ne sto venendo a capo! sono abbastanza disperato...
OT
scusa se mi permetto, ma non puoi pensare di preparare un esame di analisi in una settimana, neanche ad architettura...
fine OT
scusa se mi permetto, ma non puoi pensare di preparare un esame di analisi in una settimana, neanche ad architettura...
fine OT
"itpareid":
OT
scusa se mi permetto, ma non puoi pensare di preparare un esame di analisi in una settimana, neanche ad architettura...
fine OT
no veramente ci sono da 3 settimane, questa è la terza. poi c'è un'altra settimana in cui farò solo esercizi e poi il 13 ho l'esame. non è che siamo così sprovveduti...
certo un mese non è tanto ma ci sto dalle 9 alle 18/19 tutti i giorni..
"l0r3nzo":
[...]
eh... ma io avrei messo, come dominio relativo all'asse y, $int_0^sinx$...
se le ordinate variassero tra 0 e sin x, il tuo dominio non sarebbe quello "spicchio" che vedi disegnato tra il seno e la retta. il tuo dominio sarebbe costituito da TUTTI i punti che stanno tra il seno e l'asse x.
"Ziel van brand":
[quote="l0r3nzo"][...]
eh... ma io avrei messo, come dominio relativo all'asse y, $int_0^sinx$...
se le ordinate variassero tra 0 e sin x, il tuo dominio non sarebbe quello "spicchio" che vedi disegnato il seno e la retta. il tuo dominio sarebbe costituito da TUTTI i punti che stanno tra il seno e l'asse x.[/quote]
sì questo mi torna.
"l0r3nzo":
[quote="Ziel van brand"]sai bene come son definite le coordinate polari almeno?
so cosa si deve mettere al posto della x e della y. conosco la formula dell'integrale con le coordinate polari e conosco la matrice jacobiana, o per lo meno la so calcolare. però ti giuro che ci son sopra da 48 ore su questi integrali doppi e non ne sto venendo a capo! sono abbastanza disperato...[/quote]
un punto su un piano lo puoi individuare se sul piano disegni una griglia formata da assi verticali e orizzontali, ognuno individuato da un numero progressivo. i numeri di quei due assi la cui intersezione sta proprio sul punto, individua il punto.
questa è l'intepretazione da scuola media delle coordinate cartesiane
però puoi individuare un punto sul piano anche disegnando una semiretta orizzontale che si estende verso destra. traccia il segmento che ha per vertici il punto della semiretta (l'origine) e il punto in questione. la lunghezza di questo segmento lo chiami $\rho$, l'angolo che questo forma con la semiretta lo chiami $\theta$. $\rho$ e $\theta$ individuano quindi il punto in coordinate polari.
ora se $x=1$ individua un asse verticale che passa appunto per le ascisse 1. $\rho = 1$ individua una circonferenza di raggio 1 attorno all'origine. $\theta = 1$ individua invece un asse passante per l'origine che forma con la semiretta l'angolo $\theta = 1$
ma son sicuro che ste cose le sai forse meglio di me, magari hai poca pratica.
No, non credo assolutamente di saperle meglio di te! le dovrò sapere sia per statica che per scienza delle costruzioni ma ora son proprio agli inizi.
Il problema più grande riscontrato per quanto riguarda gli integrali doppi non è tanto il cambiamento di variabile o le coordinate polari o la risoluzione degli integrali, già difficili di loro...
La cosa più difficile, x me, da capire è il dominio. ho in mano le dispense del professore, ho un libro di matematica, ho questo forum dove ci sono tanti esempi, ho internet dove ci son tante spiegazioni, eppure da nessuna parte ho mai capito come determinare il dominio.
di esercizi come:
calcolate in coordinate polari l'integrale: $int int sqrt(x^2+y^2)$ dove D è la semicorona circolare di ordinate non negative che ha centro nell'origine e raggi 2 e 4.
oppure
determinate il volume di un solido delimitato dalla quadrica $z=x^2-y^2$ e dai piani z=0 , y=x, y=-x, x=1, x>0.
ecco io non riesco a formulare il dominio ed è proprio questo che mi blocca e che mi fa anche innervosire perché forse è una banalità!
Il problema più grande riscontrato per quanto riguarda gli integrali doppi non è tanto il cambiamento di variabile o le coordinate polari o la risoluzione degli integrali, già difficili di loro...
La cosa più difficile, x me, da capire è il dominio. ho in mano le dispense del professore, ho un libro di matematica, ho questo forum dove ci sono tanti esempi, ho internet dove ci son tante spiegazioni, eppure da nessuna parte ho mai capito come determinare il dominio.
di esercizi come:
calcolate in coordinate polari l'integrale: $int int sqrt(x^2+y^2)$ dove D è la semicorona circolare di ordinate non negative che ha centro nell'origine e raggi 2 e 4.
oppure
determinate il volume di un solido delimitato dalla quadrica $z=x^2-y^2$ e dai piani z=0 , y=x, y=-x, x=1, x>0.
ecco io non riesco a formulare il dominio ed è proprio questo che mi blocca e che mi fa anche innervosire perché forse è una banalità!
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