Integrale doppio in coordinate polari

[l0r3nzo1]

ciao a tutti..
devo calcolare il seguente integrale: $int intx^2/(x^2+y^2) dxdy$ in coordinate polari, il cui dominio è formato dal triangolo: A(0,0) B(1,1) C(1-1).

Per prima cosa ho calcolato le rette passanti per i punti e molto semplicemente viene: retta AB: $x=y$ retta AC $x=-y$ retta BC$y=1$.

Bene, considerando che in coordinate polari: $x=\rhocos\varphi$ e $y=\rhosin\varphi$ io mi blocco. non riesco a capire come si determina il dominio.
Ho già disegnato la figura, molto semplice ma non riesco proprio a capire come determinare il dominio di x e di y.

HELP..... qualche suggerimento?

[amivaleo]

beh... LA difficoltà degli integrali multipli è proprio trovare il dominio infatti ^^
ad analisi I la difficoltà sta nel trovare la primitiva dell'integrale. ad analisi II (o comunque la chiami la tua facoltà) la difficoltà non può più stare sempre sul trovare la primitiva, questa ormai vien data per superata. la difficoltà sta proprio nel trovare il dominio
e a te ancora va di lusso mi sa rispetto a quanto richiesto a me talvolta (si calcoli l'integrale in R^3 della funzione tal-dei-tali sul dominio che è l'intersezione tra il cubo ed il cilindro "unitari" che stanno hanno asse/vertici nei punti...)
roba che ai primi esercizi rimanevo così: o.o

comunque nell'ultimo integrale:

"l0r3nzo":[...]
determinate il volume di un solido delimitato dalla quadrica $z=x^2-y^2$ e dai piani z=0 , y=x, y=-x, x=1, x>0.
[...]

devi calcolare $\int_D dxdydz$ nel dominio D dato.
x deve essere maggiore di 0. ma sai anche che il piano x=1 "blocca" le x a non assumere valori più grandi di 1. quindi: $0 per y vale il discorso identico fatto per l'integrale sul triangolo: $-x e infine z sta ALPIÙ sulla superficie $z=x^2-y^2$, e ALMENO sul piano z=0. cioè le z possono variare in $0

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[l0r3nzo1]

ma infatti son sicuro che è tutta questione di allenamento questa. ora, per "fortuna" per quanto riguarda il mio scritto solitamente l'integrale è un esercizio a parte che ha il suo peso ma non è determinante nell'arrivare al 14 (con 14 si va all'orale e ad analisi 1 sono riuscito ad arrivare a 24 partendo da 14, quindi mi andrebbe bene...).

Io sfrutto tutto oggi e userò altri 2 giorni della settimana prossima per fare gli integrali però devo dare spazio anche alla geometria proiettiva e alle differenziali, sennò non arrivo nemmeno a 3...

[Amartya]

Allora lorenzo, premetto che sono anche io alle prese con l'esame di analisi II, e che quindi mi sto cimentando in alcune delle cose che stai facendo anche tu. Per quanto riguarda il dominio in coordinate polari sappiamo che in quel caso hai due variabili $\rho$ e $\theta$, inoltre sappiamo che $\rho$ appartiene a $R^+$ ma e sopratutto $\theta$ appartiene all'intervallo $0,2\pi$, questo è un importantissimo risultato che ti conviene tenere a mente per l'esame. Ora la trasformazione in coordinate polari ci consente di trasformare generalmente il dominio da un insieme circolare ad uno rettangolare dove $\rho->x$ e $\theta->y$. Ma sappiamo che $\rho$ può essere solo positivo e $\theta$ variare tra $0,2\pi$. Inoltre $\rho$ rappresenta il raggio mentre e qui sta il segreto, $\theta$ è il valore in $\pi$, per calcolare $\theta$ puoi farlo istantanemamente nel 99% dei casi utilizzando questo metodo: disegna le funzioni sugli assi cartesiani, adesso immagina di sovrapporre agli assi cartesiani i valori del sistema di conversione gradi-radianti a $0$ gradi hai $0=2\pi$, a $90°$ hai $\pi/2$ e quindi salvo casi eccezionali sai come variano $\rho$ e $\theta$.

Facciamo un esempio pratico. Immaginiamo che tu abbia così definito il tuo dominio $B ={(x,y) in R, y>=x, x^2+y^2=1}$, cioè il tuo dominio è dato dall'intersezione del semipiano con ordinate positive e il cerchio di centro l'origine e raggio $1$, se vogliamo trasformarlo in coordinate polari, ricordiamo che $\rho$ rappresenta il raggio quindi varia tra $0,1$ mentre, ricordando quanto ti ho detto sulla conversione gradi-radianti, vedi subito che $\theta$ varia tra $0$ e $\pi$. Eccoti il tuo dominio in coordinate polari.

[amivaleo]

due appunti ema:
non è vero che nel passaggio da cartesiani a polari si fa questo cambiamento: $\rho -> x$ e $\theta -> y$.
a parole: $\rho$ NON è la variabile che va a sostituire il ruolo delle y, analogamente per $\theta$. Il passaggio da cartesiani a polari lo puoi indicare con $(x,y) -> (\rho, \theta)$, perchè OGNUNA delle nuove variabili è funzione di ENTRAMBE quelle vecchie: cioè $\rho = \rho (x,y)$ così come $\theta = \theta (x,y)$. ed esistono anche le funzioni inverse: $x = x(\rho,\theta)$ e $y = (\rho,\theta)$.

secondo appunto:
$B ={(x,y) in R, y>=x, x^2+y^2=1}$ NON è il dominio descritto a parole da te. innanzitutto, scritto in modo corretto sarebbe:
$B ={(x,y) in R, y>=x, x^2+y^2 \le 1}$, in quanto vanno bene tutte le x e y la cui somma in quadratura sia MINORE di 1, e non solo quelle la cui somma in quadratura sia uguale a 1. la differenza è che il primo è un cerchio, il secondo è una circonferenza.
ma questa è pignoleria
l'errore più grande invece è che tale dominio (corretto con $\le$) non è quello da te descritto. è sì una semicirconferenza, ma individuata da $\pi/4<\theta<5/4 \pi$. è cioè ruotata in senso antiorario di $\pi/4$ rispetto alla semiretta di cui parlavo prima (rispetto cioè alla semiretta delle ascisse positive).
il dominio da te descritto è $B ={(x,y) in R, y>=0, x^2+y^2 \le 1}$.

[l0r3nzo1]

terrò a mente tutti questi consigli! grazie

[Amartya]

"Ziel van brand":due appunti ema:
non è vero che nel passaggio da cartesiani a polari si fa questo cambiamento: $\rho -> x$ e $\theta -> y$.
a parole: $\rho$ NON è la variabile che va a sostituire il ruolo delle y, analogamente per $\theta$. Il passaggio da cartesiani a polari lo puoi indicare con $(x,y) -> (\rho, \theta)$, perchè OGNUNA delle nuove variabili è funzione di ENTRAMBE quelle vecchie: cioè $\rho = \rho (x,y)$ così come $\theta = \theta (x,y)$. ed esistono anche le funzioni inverse: $x = x(\rho,\theta)$ e $y = (\rho,\theta)$.

secondo appunto:
$B ={(x,y) in R, y>=x, x^2+y^2=1}$ NON è il dominio descritto a parole da te. innanzitutto, scritto in modo corretto sarebbe:
$B ={(x,y) in R, y>=x, x^2+y^2 \le 1}$, in quanto vanno bene tutte le x e y la cui somma in quadratura sia MINORE di 1, e non solo quelle la cui somma in quadratura sia uguale a 1. la differenza è che il primo è un cerchio, il secondo è una circonferenza.
ma questa è pignoleria
l'errore più grande invece è che tale dominio (corretto con $\le$) non è quello da te descritto. è sì una semicirconferenza, ma individuata da $\pi/4<\theta<5/4 \pi$. è cioè ruotata in senso antiorario di $\pi/4$ rispetto alla semiretta di cui parlavo prima (rispetto cioè alla semiretta delle ascisse positive).
il dominio da te descritto è $B ={(x,y) in R, y>=0, x^2+y^2 \le 1}$.

hai ragione volevo dire $y>=0$ tant'è che l'ho scritto a parole. Era tardi

Negli altri casi hai sempre ragione, soltanto volevo dirlo in parole molto semplici per far comprendere a lorenzo un metodo semplice.

Rimane il fatto che quel metodo di sovrapporre alle coordinate cartesiane il sistema di conversione gradi-radianti per individuare come varia $\theta$ è molto semplice ed affidabile, salvo casi particolari, nel 99% dei casi.

[amivaleo]

sulla sovrapposizione dei due sistemi di coordinate non ho detto nulla infatti

[Amartya]

"Ziel van brand":sulla sovrapposizione dei due sistemi di coordinate non ho detto nulla infatti

figuarti.

Invece come esercizio non mi è ancora capitato un dominio che non sia banale in termini di coordinate polari.

Faccio un esempio al caso. Immaginiamo che io abbia $B ={(x,y) in R, y>sqrt(2)/2*x, x^2+y^2<=1}$, in quel caso anche dopo aver disegnato la retta di equazione $y=sqrt(2)/2*x$, avrei difficoltà ad individuare $\theta$ utilizzando il metodo di sovrapposizione della conversione gradi-radianti. Come si potrebbe procedere?

Ho cercato un pò in giro sul web, ma ho trovato francamente pochissimo a riguardo.

[Gi81]

Basta osservare che $tg(theta)=y/x$
Quindi la condizione $y>sqrt2/2 x$ è equivalente a $tg(theta)>sqrt2/2$
Quindi $arctg(sqrt2/2)

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[amivaleo]

cosa è il coefficiente angolare m delle rette in termini di $\theta$?
$m = tan \theta$
non sto qui a spiegare il perchè con parole mie. wikipedia lo fa sicuramente meglio: http://it.wikipedia.org/wiki/Coefficiente_angolare

nel tuo caso $tan \theta = \frac{\sqrt 2}{2}$
quindi vabbeh... l'artan di $\frac{\sqrt 2}{2}$ non è un angolo "noto" (almeno non per me o.o) ma fa niente.
sai che la tangente è periodica di periodi $\pi$. quindi fai il grafico della tangente tra 0 e $2\pi$. tiri una bella retta orizzontale all'altezza in cui la tangente vale $\frac{\sqrt 2}{2}$ (ovviamente è un'altezza a caso). e vedi che tale retta interseca la tangente in due punti nell'intervallo $0, 2\pi$. in corrispondenza di quei due punti, hai quindi 2 angoli.
per farla breve: $artan (\frac{\sqrt 2}{2}) <\theta< artan (\frac{\sqrt 2}{2}) + \pi$
è quel che è... na schifezza... ma vabbeh...

[amivaleo]

"Gi8":Basta osservare che $tg(theta)=y/x$
Quindi la condizione $y>sqrt2/2 x$ è equivalente a $tg(theta)>sqrt2/2$
Quindi $arctg(sqrt2/2)
perchè quanto hai trovato tu non mi convince?
non riesco a trovare errori in quanto hai scritto, ma il domino è descritto dal $\theta$ che ho indicato io... o.O

edit:
mi esprimo meglio: in realtà che ci sia un errore lo vedo, ma non riesco a concludere bene un discorso che dimostri per bene che quanto ho indicato io sia effettivamente il dominio in questione.
l'errore in questione è che è m ad essere la tangente, non il rapporto $y/x$ nella scrittura $y > mx$. sto cioè dicendo che vale:
$y > mx$ -> $y > tan \theta x$
quindi al massimo: $y/x > tan \theta$
in questo caso $tan \theta = \frac{\sqrt2}{2}$.
non so concludere il discorso però

[amivaleo]

no ok, ce l'ho fatta!
consideriamo la retta $ y = \frac{\sqrt2}{2} x$. riscriviamola come (e questo è vero perchè c'è l' = ): $ y/x = \frac{\sqrt2}{2} = tan \theta$.
nell'intervallo $[0, 2\pi]$ sono tuttavia 2 gli angoli $\theta$ in cui vale $tan \theta = \frac{\sqrt2}{2}$.
da cui: $\theta_1 = artan \frac{\sqrt2}{2}$ e $\theta_2 = \pi + artan \frac{\sqrt2}{2}$
ritornando alla retta, ottengo allora:
$\theta_1 = artan \frac{y}{x} = artan \frac{\sqrt2}{2}$
ma anche
$\theta_2 = \pi + artan \frac{y}{x} = \pi + artan \frac{\sqrt2}{2}$

tuttavia la disequazione iniziale ci dice che $y/x \ge tan \theta = \frac{\sqrt2}{2}$
applicando l'artan, metto insieme questa scrittura con le due equazioni appena scritte:
$artan \frac{y}{x} \ge \theta_1 = artan \frac{\sqrt2}{2}$
$artan \frac{y}{x} \ge \theta_2 = \pi + artan \frac{\sqrt2}{2}$
che possono essere compendiate in:
$artan \frac{\sqrt2}{2} < \theta < \pi + artan \frac{\sqrt2}{2}$
dato che deve valere:
$\theta_1 < \theta < \theta_2$

funziona? sembra di si più o meno

meglio tenere il disegno del dominio sempre sott'occhio però, come puoi notare, ema ^^
ti eviti questi giri mentali che più che istruttivi sono solo delle perdite di tempo... ^^


edit:
scusate i 3 post di seguito ._.

ari-edit:
sistemata meglio la "dimostrazione"

[Gi81]

@Ziel: ti consiglio di andarti a rivedere la tangente.

In $(pi/2,pi)$ la tangente è negativa

[amivaleo]

gi8, disegna la retta e la circonferenza e vedrai che $\theta$ varia nell'intervallo che ho indicato.

nell'equazione della retta $y = mx$, è m ad essere la tangente dell'angolo. SE vale l'uguaglianza $y/x = m$, allora ANCHE il rapporto $y/x$ è la tangente. ma se hai la disequazione $y \ge mx$, il rapporto $y/x$ NON è la tangente, ma è $y/x \ge tan \theta$. da qui il mio discorso.

ps: conosco bene come funziona la tangente

[Gi81]

Stai sbagliando tutto.
Prendi la retta $y = -x$ . Si ha che $tg(theta)= -1=> theta=3/4pi$,
che è nell'intervallo scritto prima da te (cioè $(arctg(sqrt2/2),pi +arctg(sqrt2/2))$).

Ma $-1$ non è sicuramente maggiore di $sqrt2/2$



Qui il problema di cui stiamo discutendo è
come risolvere una disequaizone trigonometrica del tipo $tg(x)>a$, con $a in RR^+$

La soluzione è sempre la seguente: $arctg(a)+kpi
Un esempio con disegno puoi trovarlo qui, con $a=1$

[amivaleo]

se cambia il coefficiente m, non è che l'intervallo entro cui varia $\theta$ si divide in due intervalli.

sei d'accordo che si può generalizzare nel modo seguente?
sia $y = tan \theta x = m x$
se m = 0, l'intervallo è $0 < \theta < \pi$
se m = 1, l'intervallo è $\pi/4 < \theta < \pi/4 +\pi$
se m = -1, l'intervallo è $-\pi/4 < \theta < -\pi/4 +\pi$
se m è generico, l'intervallo è $ artan m < \theta < artan m + \pi$

se disegno l'intervallo da te indicato, ottengo due settori circolari che non sono contigui, questi non possono descrivere un dominio connesso del tipo {(x,y) : y \ge mx, y^2 + x^2 \le 1}

poi boh, se non ti ho convinto, non so che altre argomentazioni portare ._.
al massimo aspettiamo una terza persona che magari può chiarire la questione.

[amivaleo]

"Gi8":S[...]Qui il problema di cui stiamo discutendo è
come risolvere una disequaizone trigonometrica del tipo $tg(x)>a$, con $a in RR^+$[...]

no, non stiamo discutendo di quello.
perchè è il coefficiente angolare m ad essere la tangente dell'angolo formato tra la retta e l'asse delle ascisse, non lo è il rapporto y/x
se hai l'uguaglianza $y = mx$, allora vale $y/x = m = tan \theta$
se hai la disequazione $y \ge mx$, allora $y/x \ge m$ e quindi $y/x \ge tan \theta$
$y/x$ non è la tangente dell'angolo.

[Gi81]

"Ziel van brand":se cambia il coefficiente m, non è che l'intervallo entro cui varia $\theta$ si divide in due intervalli.

E invece è proprio così.
Forse è il caso che tu ti vada a rivedere come è fatta la funzione tangente (argomento che si fa alle superiori)
Riguarda con attenzione il mio ultimo post

"Ziel van brand":
sia $y = tan \theta x = m x$
se m = 0, l'intervallo è $0 < \theta < \pi$
se m = 1, l'intervallo è $\pi/4 < \theta < \pi/4 +\pi$
se m = -1, l'intervallo è $-\pi/4 < \theta < -\pi/4 +\pi$
se m è generico, l'intervallo è $ artan m < \theta < artan m + \pi$

Tutte le soluzioni da te scritte sono sbagliate.
Anche perchè in tutte le soluzioni tu comprendi il valore $theta=pi/2$, mentre sai benissimo che $tg(pi/2)$ non esiste.

[Gi81]

"Ziel van brand":$y/x$ non è la tangente dell'angolo.

Sempre peggio.
Se $x=rho*cos(theta)$ e $y=rho*sin(theta)$ il rapporto $y/x$ è pari a $(rhosin(theta))/(rhocos(theta))= tg(theta)$

[amivaleo]

"Gi8":E invece è proprio così.
Forse è il caso che tu ti vada a rivedere come è fatta la funzione tangente (argomento che si fa alle superiori)
[...]

io non ho messo in dubbio le tue competenze, ti prego di non farlo tu nei miei confronti perchè lo trovo offensivo.

il settore giallo è il dominio in questione.
http://img8.imageshack.us/img8/1134/schermatavx.png
$\theta$ varia con continuità, varia all'interno di un unico intervallo di valori continuo. puoi scinderlo in due o più intervalli, ma l'unione di questi deve sempre essere un intervallo connesso. quello che tu hai proposto non lo è.