Integrale doppio improprio
come si risolve questo integrale ? $ int int_(D) ln(x^2+y^2)/((x^2+y^2+1)^4) dx dy $ dove D={$x^2+y^2>=1$} ...dovrei usare le coordinate polari?
Risposte
4?? quindi è convergente??
$4$? E perché, di grazia? A me non pare proprio...
uff non lo so aiutami a capire
Devi considerare come si comporta tutta la funzione $f(\rho)={\rho\log(\rho^2)}/{(\rho^2+1)^4}$: utilizzando un semplice confronto di infiniti ottieni che essa è simile a
$f(\rho)\sim\frac{\rho}{\rho^8}\cdot 2\log(\rho)=\frac{2\log(\rho)}{\rho^7}$
A questo punto, puoi verificare facilmente se l'ultima funzione sia integrabile su un intervallo del tipo $[a,+\infty)$ (con $a>0$ qualsiasi). Fatto questo, se lo è, segue che anche l'integrale inziale è convergente ed hai finito. Per verificare la cosa che ti ho detto, calcola esplicitamente l'integrale improprio $\int_a^{\+infty} \frac{2\log(\rho)}{\rho^7}\ d\rho$ (è la cosa più semplice, senza mettersi a fare troppi ragionamenti con confronti di infiniti vari).
$f(\rho)\sim\frac{\rho}{\rho^8}\cdot 2\log(\rho)=\frac{2\log(\rho)}{\rho^7}$
A questo punto, puoi verificare facilmente se l'ultima funzione sia integrabile su un intervallo del tipo $[a,+\infty)$ (con $a>0$ qualsiasi). Fatto questo, se lo è, segue che anche l'integrale inziale è convergente ed hai finito. Per verificare la cosa che ti ho detto, calcola esplicitamente l'integrale improprio $\int_a^{\+infty} \frac{2\log(\rho)}{\rho^7}\ d\rho$ (è la cosa più semplice, senza mettersi a fare troppi ragionamenti con confronti di infiniti vari).