Integrale doppio improprio
come si risolve questo integrale ? $ int int_(D) ln(x^2+y^2)/((x^2+y^2+1)^4) dx dy $ dove D={$x^2+y^2>=1$} ...dovrei usare le coordinate polari?
Risposte
Tu che dici? Comunque quell'integrale è improprio: per cui dovresti prima capire se converge o meno.
dico che devo studiare proprio la convergenza ma non so come fare 
dammi qualche input please
dammi qualche input please
Prova a passare in coordinate polari e ragiona sul fatto che devi integrare per $1le\rho\le +\infty$
se pongo così le coordinate polari va bene x=psin(a) e y=pcos(a) ?? (a sta per teta che non so come si scrive )
)
Spero tu volessi scrivere $x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta$.
oh mio dio cosa ho scritto??? comunque esattamente come hai scritto tu va bene? (ho rieditato il messaggio precedente 
)
)
allora faccio $ int_(1)^(+oo ) int_(0)^(2pi) (ln(rho^2cos^2theta+rho^2sin^2theta))/(rho^2cos^2theta+rho^2sin^2theta+1)^4 d theta drho $ = $ int_(1)^(+oo ) int_(0)^(2pi) ln(rho^2)/(rho^2+1)^4 d theta drho $ ???
Quelle che ho scritto io sono le coordinate polari standard, nel senso che percorrono la circonferenza di raggio $\rho$ in senso antiorario partendo dal punto $(\rho,0)$ (intersezione della circonferenza di centro l'origine e raggio $\rho$ con il semiasse positivo delle ascisse). Anche quelle che hai scritto tu vanno bene, tuttavia non sono standard: infatti parti dal punto di coordinate $(0,\rho)$ (il polo nord della circonferenza, se vuoi) e la percorrono in senso orario (che è una cosa che ai matematici fa venire da vomitare come stare seduti sul treno dando le spalle al senso di marcia!).
EDIT: e lo Jacobiano dove sta?
EDIT: e lo Jacobiano dove sta?
non ho fatto altro che sostituire le coordinate che hai scritto nell'integrale
Ma sei in un integrale!!!! Lo sai che esiste una formula per il cambiamento di variabile???
si si ...il determinante della matrice jacobiana è $rho$ no?
non capisco qual è l'intervallo dove varia $theta$..cioè io ho scritto 0 e 2$pi$ ma a quanto mi dici ho sbagliato...
non capisco qual è l'intervallo dove varia $theta$..cioè io ho scritto 0 e 2$pi$ ma a quanto mi dici ho sbagliato...
$\theta$ va bene, dove ho mai detto che fosse sbagliato? Quello che intendevo dire è che le coordinate polari sono come le ho scritte io.
avevo lasciato questo esercizio ma ora l'ho ripreso perchè voglio capire ed arrivare ad una soluzione...allora sono giunto a questo integrale $int_(0)^(2pi)int_(1)^(oo)ln(rho^2)/(((rho^2+1)^4))*rho d rho d theta$ ... come faccio a studiarne la convergenza??
Osserva che il tuo integrale equivale a questo
$2\pi\int_1^\infty\frac{\log\rho^2}{(\rho^2+1)^4}\ \rho\ d\rho$
A questo punto è una semplice questione di verificare quando un integrale in una variabile converge ad infinito. Sai come fare?
$2\pi\int_1^\infty\frac{\log\rho^2}{(\rho^2+1)^4}\ \rho\ d\rho$
A questo punto è una semplice questione di verificare quando un integrale in una variabile converge ad infinito. Sai come fare?
dovrei trovare una primitiva?
"gabyaki88":
dovrei trovare una primitiva?
Ma tu hai mai verificato la convergenza di un integrale improprio in analisi 1?
è un integrale improprio del 1° tipo... dovrei fare $ lim_(t -> oo ) int_(1)^(t) log(rho^2)rho /((rho^2 +1)^4) d rho $
Guarda, se riesci a trovare un primitiva e calcolare il limite, buon per te. Ma io non ci spererei. In questi casi, come procedi? mai sentito parlare di condizioni di integrabilità e di ordine di infinitesimo della funzione integranda?
dovrei usare il criterio asintotico con la funzione $1/x^(alpha)$ ... di cui l'integrale generalizzato tra 1 e +$oo$ è per $alpha >1$ convergente ... aiutami 
Sì, questo. Ora, la funzione che stai considerando che tipo di ordine avrà secondo te?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo