Integrale doppio equazioni polari

[ironm73]

Ciao a tutti:) sto riscontrando vari problemi nella conversione da coordinate cartesiane a coordinate polari nell'integrazione doppia :/ l'integrale di per sè è molto semplice:

$ f(x,y)=x^2,D= $ cerchio con centro l'origine e raggio pari ad 1

allora siccome $ x=rcos(vartheta ) $ l'ho svolto così:

$ int_(0)^(2pi ) int_(0)^(1) r^2cos(vartheta)^2 dr dvartheta =pi /3 $

facendo variare $ 0<=r<=1 $ (mi è sembrato ovvio visto che il raggio non può essere di lunghezza compresa tra -1 e 0) e $ 0<=vartheta <=2pi $ perchè si trattasi dell'intera circonferenza... il risultato dell'esercizio è però $ pi/4 $ dove sbaglio?!?

[Demostene92]

Ricordati che quando operi una trasformazione di coordinate devi inserire il Jacobiano del relativo cambio di base. In questo caso otterresti dentro all'integrale $\rho^3cos^2\theta$, in quanto $|J|=\rho$. Di conseguenza:

$\int_{0}^(2\pi)d\theta\int_{0}^1\rho^3cos^2\thetad\rho=1/8[\theta+sin\thetacos\theta]_{0}^(2\pi)=\pi/4$.

[ironm73]

Grazie!