Integrale doppio e volume di un solido

[Castiel96]

salve vorrei un suggerimento su questa tipologia si esercizio , penso di averlo quasi concluso ma mi sono bloccato sulla determinazione di un area .

Sia D il sottoinsieme di $R^2$ definito da D={(x,y) ∈ $R^2$: $x^2 +y^2 -2y >=0 $;$x^2 + y^2 -4y<=0 $;$y>=x$;$x>=0$}
A) Calcolare , utilizzando le formule di Gauss Green , l'integrale curvilineo :
$ ∫_(+∂D) xlog(x^2+y^2) dx $
B) calcolare il volume del solido ottenuto facendo ruotare D attorno all'asse x di un giro completo

Allora il dominio è composto da due circonferenze : una di C(0,1) e r= 1, mentre la seconda ha C(0,2) e r=2 . imponendo anche le restanti condizioni ho disegnato il dominio .
poi usando la seguente formula di Gauss Green : $∫∫_(D) (∂f)/(∂y) dx dy =-∫_(+∂D) f dx $
ho trovato il seguente integrale doppio : $∫∫_(D) - (2xy)/(x^2+y^2) dxdy$.
per facilitare l'esercizio ho diviso il dominio in tre parti : la prima parte non è altro che $1/4$ della circonferenza con C(0,2) e r=2 , quindi ha un area pari a $D_1=πr^2/4=π$.


poi ho suddiviso l'area sottostante a $D_1$ in due parti. la prima parte in un triangolo rettangolo che è compreso tra$ 1 il problema che ho riscontrato è nel determinare l'area $D_3$ che si trova delimitata dalle rette x=1 e y=2 e dalla circonferenza più piccola .

per quanto riguarda il volume del solido devo applicare la seguente formula $V=2πX_(G) A=2π∫∫_(D) - (2xy)/(x^2+y^2) dxdy$ ??

[pilloeffe]

Ciao Castiel96,

"Castiel96":salve vorrei un suggerimento su questa tipologia di esercizio

Il primo suggerimento è quello di disegnare per bene il dominio:

$ D={(x,y) \in \RR^2 : x^2+y^2−2y >= 0; x^2+y^2−4y <= 0; y >= 0; x >= 0} $

Se lo fai dovresti riuscire a renderti conto abbastanza facilmente che si tratta di un dominio $y$-semplice e che per risolvere l'integrale proposto conviene passare alle coordinate polari $x = \rho cos\theta $ e $y = \rho sin\theta $:

$\int \int_D - (2xy)/(x^2+y^2) \text{d}x\text{d}y = - 2 \int \int_{D'} \rho cos\theta sin\theta \text{d}\rho\text{d}\theta $

ove $D' $ si ottiene da $D $ col passaggio alle coordinate polari e con opportuni ragionamenti che consentono di determinare le limitazioni per $\rho $ e per $\theta $.

Non capisco poi tutti i calcoli delle aree che fai che mi sembrano inutili dato che non è $z = f(x,y) = 1 $.

Per quanto riguarda la domanda B) se la rotazione è attorno all'asse $y $ il volume richiesto è dato semplicemente dalla differenza fra il volume delle due sfere ottenute facendo ruotare attorno all'asse $y $ le due semicirconferenze $C_2 : x^2+y^2−4y = 0 $ e $C_1 : x^2+y^2−2y = 0 $ (occhio che siamo nel primo quadrante dato che $x >= 0 $ e $y >= 0 $ ), cioè $V = V_{C_2} - V_{C_1} = 4/3 \pi \cdot 2^3 - 4/3\pi \cdot 1^3 = 28/3 \pi $
Se invece come hai scritto la rotazione è attorno all'asse $x $, allora invece di applicare formule ingiustificate farei semplici considerazioni sul dominio $D$ e sulle sue simmetrie...

[Castiel96]

grazie mille per i consigli , ma leggendo il metodo che mi hai dato , mi sono accorto di aver commesso un errore nel scrivere la traccia dell'esercizio . il dominio è con $ y>=x$

[pilloeffe]

"Castiel96":grazie mille per i consigli [...]

Prego.

"Castiel96":[...] mi sono accorto di aver commesso un errore nel scrivere la traccia dell'esercizio, il dominio è con $y >= x $

Beh meglio ancora, è anche più semplice: siamo comunque nel primo quadrante dato che se $y >= x $ e $x >= 0 $ allora $y >= 0 $ solo che va considerato quanto sopra la retta $y = x $ (bisettrice del primo e del terzo quadrante), per cui $\pi/4 <= \theta <= \pi/2 $

[Castiel96]

Con $0

Cita

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[pilloeffe]

"Castiel96":Con $0 < p <2 $ l'integrale doppio viene uguale a -1 [...]

Non so chi sia $p $...
Se invece ti riferisci a $\rho $ mi risulta $1 <= \rho <= 2 $

[Castiel96]

Con tali limitazioni mi viene $-3/4$ e quindi resta un valore negativo .

[pilloeffe]

"Castiel96":Con tali limitazioni mi viene $−3/4 $ [...]

Anche a me risulta così: perché invece il risultato qual è?