Integrale doppio difficile da risolvere
Salve a tutti. Sono nuovo in questo forum. Tra poco dovrò sostenere l'esame di analisi 2 . In un appello precedente questo esercizio mi ha dato non poche difficoltà. Sebbene sia andato da svariati professori in materia, nessuno di essi mi ha mostrato la risoluzione delll'esercizio, sebbene mi abbiano consigliato di effettuare un cambio di coordinate. L'esercizio in questione è il seguente , ossia un integrale doppio che, nonostante a prima vista sembri facile, in realtà si presenta particolarmente ostico in quanto, dopo aver integrato sulla variabile y mi riconduco a due integrali su x, uno dei quali è molto facile, l'altro pressoché impossibile per quanto mi riguarda. Ringrazio tutti coloro che proveranno ad aiutarmi in anticipo. p.s. è fantastico che esista un forum del genere. 
$ int int_D x^2 e^(xy) dy dx $ dove $ D={(x,y)in R^2 :-1<= x<= 1, x^2<= y<= 1} $
io ho proceduto, semplicemente, in questo modo :
$ int int_D x^2 e^(xy) dy dx = int_-1^1dx int_(x^2) ^1x^2 e^(xy) dy $
$ int_-1^1dx int_(x^2) ^1x^2 e^(xy) dy = int_-1^1 x dx int_(x^2)^1 x e^(xy) dy $
$ int_-1^1 x dx int_(x^2)^1 x e^(xy) dy = int_-1^1x[ e^(xy)]_(y=x^2)^(y=1)dx= int_-1^1x e^x dx - int _-1 ^1 x e^(x^3) dx $
come già detto il primo integrale è semplice ( per parti). per quanto riguarda il secondo, buio totale.
$ int int_D x^2 e^(xy) dy dx $ dove $ D={(x,y)in R^2 :-1<= x<= 1, x^2<= y<= 1} $
io ho proceduto, semplicemente, in questo modo :
$ int int_D x^2 e^(xy) dy dx = int_-1^1dx int_(x^2) ^1x^2 e^(xy) dy $
$ int_-1^1dx int_(x^2) ^1x^2 e^(xy) dy = int_-1^1 x dx int_(x^2)^1 x e^(xy) dy $
$ int_-1^1 x dx int_(x^2)^1 x e^(xy) dy = int_-1^1x[ e^(xy)]_(y=x^2)^(y=1)dx= int_-1^1x e^x dx - int _-1 ^1 x e^(x^3) dx $
come già detto il primo integrale è semplice ( per parti). per quanto riguarda il secondo, buio totale.
Risposte
Vi prego, datemi una mano
non vorrei dire una c a ma mi pare che per quel tipo di integrale non esiste una primitiva...
se non vado errando dovrebbe essere uno di quei casi in cui non si può risalire alla primitiva con i metodi canonici, però se ti può interessare si può risolvere con metodi numerici... ma non credo ai fini dell'esame ti possa servire.
Mi suona però veramente strano che ad analisi 2 ti abbiano dato un integranda del genere...
a ma mi pare che per quel tipo di integrale non esiste una primitiva...se non vado errando dovrebbe essere uno di quei casi in cui non si può risalire alla primitiva con i metodi canonici, però se ti può interessare si può risolvere con metodi numerici... ma non credo ai fini dell'esame ti possa servire.
Mi suona però veramente strano che ad analisi 2 ti abbiano dato un integranda del genere...
Ciao Giowre92 secondo me si può fare così: il tuo dominio è l'area in nero
il dominio lo puoi vedere anche così
\begin{equation}
D=\{(x,y)\in R^2 : -\sqrt{y}\leq x \leq \sqrt{y},0\leq y\leq 1\}
\end{equation}
quindi l'integrale diventa
\begin{equation}
\int_0^1 \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} x^2e^{xy} dx dy
\end{equation}
lo risolvi per parti e dovresti ottenere:
\begin{equation}
\int_0^1 \frac{e^{y^{3/2}}-e^{-y^{3/2}}}{y}dy-\int_0^1 2\frac{e^{y^{3/2}}-e^{-y^{3/2}}}{\sqrt{y}}dy+\int_0^1 2\frac{e^{y^{3/2}}+e^{-y^{3/2}}}{y^3}dy
\end{equation}
ponendo $e^{y^{3/2}}-e^{-y^{3/2}}=2Sinh(y^{3/2})$ e $ e^{y^{3/2}}+e^{-y^{3/2}}=2Cosh(y^{3/2})$ dovresti ottenere adesso qualcosa di fattibile i conti non li ho proseguiti. fammi sapere la soluzione perché mi ha stuzzicato parecchio
il dominio lo puoi vedere anche così
\begin{equation}
D=\{(x,y)\in R^2 : -\sqrt{y}\leq x \leq \sqrt{y},0\leq y\leq 1\}
\end{equation}
quindi l'integrale diventa
\begin{equation}
\int_0^1 \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} x^2e^{xy} dx dy
\end{equation}
lo risolvi per parti e dovresti ottenere:
\begin{equation}
\int_0^1 \frac{e^{y^{3/2}}-e^{-y^{3/2}}}{y}dy-\int_0^1 2\frac{e^{y^{3/2}}-e^{-y^{3/2}}}{\sqrt{y}}dy+\int_0^1 2\frac{e^{y^{3/2}}+e^{-y^{3/2}}}{y^3}dy
\end{equation}
ponendo $e^{y^{3/2}}-e^{-y^{3/2}}=2Sinh(y^{3/2})$ e $ e^{y^{3/2}}+e^{-y^{3/2}}=2Cosh(y^{3/2})$ dovresti ottenere adesso qualcosa di fattibile i conti non li ho proseguiti.
fammi sapere la soluzione perché mi ha stuzzicato parecchio
Ciao Gentile Haldosax. Ti ringrazio per aver risposto. Avevo pensato di procedere esattamente come hai fatto tu, anche perché più o meno, era esattamente questo che i vari professori che ho consultato mi avevano consigliato di fare. Il punto è che, arrivato esattamente dove sei arrivato tu nei calcoli, per "controllare che il dominio visto in questo modo facilitasse i conti, ho provato a vedere se Wolfram Alpha riuscisse a determinare una primitiva del secondo dei tre integrali che tu hai scritto. In effetti la primitiva riesce a determinarla, ma è assolutamente ILLEGGIBILE, ed è talmente lunga che vi risparmio di scrivervela qui. Inoltre in essa sono presenti svariati $ gamma $che non so proprio da dove abbia tirato fuori, dal momento che stiamo parlando di un integrale indefinito. Forse sono io che interpreto male Wolfram Alpha e in realtà il secondo di questi tre integrali è banale? Grazie comunque di nuovo ad entrambi per la risposta. p.s. Se doveste riuscire a risolverlo ( con carta e penna) vi prego di farmelo sapere
Grazie comunque di nuovo ad entrambi per la risposta. p.s. Se doveste riuscire a risolverlo ( con carta e penna) vi prego di farmelo sapere
ciao Fhabbio, sono d'accordo con te, non è un esercizio da dare ad un esame di analisi 2, ma la mia domanda a questo punto è la seguente : Come si fa a superare lo scritto, in due ore scarse, se ho 5 esercizi da fare incluso questo qui e gli altri 4, per quanto siano "facili" rispetto a questo, richiedono comunque un'oretta e mezza abbondante di tempo? eppure ero certo di essere preparato per quest'esame, ma quando visto questo integrale mi sono ricreduto completamente
il secondo dei tre ti viene qualcosa di illeggibile in quanto si riconduce sempre a un integrale del tipo $\int e^(t^3) dt$
infatti se sostituisci $sqrt(y)=t$ al suddetto integrale
avrai $(dy)/(2sqrt(y))=dt$
$4*\int (e^(t^3)-e^(-t^3)) dt$
Ma comunque sia, su!!!...non ti scoraggiare!
é capitato una volta, ciò non implica che debba ricapitare ancora.
Sarà stata una svista del docente.
E vedrai che con un (bel) po' di esercizio svolgerai rapidamente i quesiti proposti!
Per quanto riguarda l'integrale definito, se proprio bisogna calcolarlo, si può fare coi metodi numerici, ma questi ci esulano dal programma di analisi 2 (per lo meno quando l'ho fatto io, non si studiavano metodi numerici^^)
infatti se sostituisci $sqrt(y)=t$ al suddetto integrale
avrai $(dy)/(2sqrt(y))=dt$
$4*\int (e^(t^3)-e^(-t^3)) dt$
Ma comunque sia, su!!!...non ti scoraggiare!
é capitato una volta, ciò non implica che debba ricapitare ancora.
Sarà stata una svista del docente.
E vedrai che con un (bel) po' di esercizio svolgerai rapidamente i quesiti proposti!
Per quanto riguarda l'integrale definito, se proprio bisogna calcolarlo, si può fare coi metodi numerici, ma questi ci esulano dal programma di analisi 2 (per lo meno quando l'ho fatto io, non si studiavano metodi numerici^^)
ahahahahah grazie mille Fhabbio!!! però non credo sia giusto che mi venga considerato "sbagliato" un esercizio che nemmeno il docente sa risolvere perché, a quanto ho capito , "analiticamente non si può calcolare". Grazie ancora per la dritta
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