Integrale doppio di funzione particolare
Salve a tutti. Mi è stato chiesto di risolvere questo esercizio ma non riesco a trovare il modo di scomporre la funzione. vi riporto la tracci:
Sia B la corona circolare di centro l'origine e raggi 1 e 2. Verificare che risulta:
$int int_(B)x^2(1+x^2y) dx dy =15/4\pi$
Ammetto di aver sottovalutato il problema in quanto sembrava semplice ma non lo è affatto. Gentilmente potreste darmi qualche idea? Ho provato con le coordinate polari ma il punto è che non riesco a scomporre la funzione in modo da avere integrali elementari da poter poi separare con Gauss Green. Voi avete idee?
Sia B la corona circolare di centro l'origine e raggi 1 e 2. Verificare che risulta:
$int int_(B)x^2(1+x^2y) dx dy =15/4\pi$
Ammetto di aver sottovalutato il problema in quanto sembrava semplice ma non lo è affatto. Gentilmente potreste darmi qualche idea? Ho provato con le coordinate polari ma il punto è che non riesco a scomporre la funzione in modo da avere integrali elementari da poter poi separare con Gauss Green. Voi avete idee?
Risposte
sicuro? non ho fatto i conti ma non ci vedo nulla di complicato
$int_(1)^(2)rho^3drhoint_(0)^(2pi)cos^2(theta)d theta+int_(1)^(2)rho^6drhoint_(0)^(2pi)cos^4(theta)sen(theta)d theta$
mi sembrano tutti molto elementari (soprattutto in considerazione dell'angolo in cui varia $theta$)
$int_(1)^(2)rho^3drhoint_(0)^(2pi)cos^2(theta)d theta+int_(1)^(2)rho^6drhoint_(0)^(2pi)cos^4(theta)sen(theta)d theta$
mi sembrano tutti molto elementari (soprattutto in considerazione dell'angolo in cui varia $theta$)
Ciao tommik. Grazie per aver risposto. Si io fin li ci sono arrivato ma poi diventa un problema quel $cos^4(\theta)sin(\theta)$
Come mi consigli di procedere? come lo scompongo?
Come mi consigli di procedere? come lo scompongo?
"paolotesla91":
Ciao tommik. Grazie per aver risposto. Si io fin li ci sono arrivato ma poi diventa un problema quel $cos^4(\theta)sin(\theta)$
Come mi consigli di procedere? come lo scompongo?
basta sostituire $cos(theta)=y$
$-sen(theta)d theta=dy$ e l'integrale viene $-inty^4dy$
in verità non avevo pensato all'integrale per sostituzione. Grazie mille per l'idea ma dovrei fare i calcoli per gli estremi di integrazione e controllare. Adesso lo faccio.
Trovo abbastanza problemi. Io ho :
$int int_(0)^(2\pi)\rho^6cos^4(\theta)sin(\theta)d\rho d\theta $
Faccio $cos(\theta)=y -> dy=-sin(\theta)d\theta$ ma poi per gli estremi?
$y=cos(0)=1; y=cos(2\pi)=1$ ?????
$int int_(0)^(2\pi)\rho^6cos^4(\theta)sin(\theta)d\rho d\theta $
Faccio $cos(\theta)=y -> dy=-sin(\theta)d\theta$ ma poi per gli estremi?
$y=cos(0)=1; y=cos(2\pi)=1$ ?????
intanto non capisco perché $rho^6$ (sorry ho dimenticato un $rho$)
Perchè il passaggio a coordinate polari è :
$int int_(0)^(2\pi)f(\rhocos(\theta),\rhosin(\theta))\rho d\rho d\theta$
Il determinante dello Jacobiano è sempre ro ricordi?
$J(\rho, \theta)=\rho$
Tuttavia il problema che ho sollevato non è tanto su quel ro ma sugli estremi di integrazione.
$int int_(0)^(2\pi)f(\rhocos(\theta),\rhosin(\theta))\rho d\rho d\theta$
Il determinante dello Jacobiano è sempre ro ricordi?
$J(\rho, \theta)=\rho$
Tuttavia il problema che ho sollevato non è tanto su quel ro ma sugli estremi di integrazione.
GRazie mille tommik ho risolto. Grazie dell'idea comunque
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