Integrale Doppio Coordinate Polari
Salve, premetto che questo è il mio primo post. Ho letto il regolamento, comunque mi farebbe piacere se mi venissero segnalati eventuali errori di creazione post.
Il quesito che vi propongo è stato preso da un compito d'esame di Analisi 1 Ing.Gestionale Sapienza:
Il testo chiede:
"Calcolare l'area della regione piana contenuta nella curva : $ (x^2 +y^2)^3=36x^2y^2 $ e nel primo quadrante "
Vi spiego in dettaglio come ho proceduto e dove mi sono bloccato.
In primis devo cercare gli estremi d'integrazione, allora notando una certa utilità, procedo con il cambio di variabili in coordinate polari.
La curva mi diventa di cosi $ rho ^2=36cos^2thetasin^2theta $ , da qui trovo che $ rho $ è compreso tra
$ 0 <= rho <= 3|sen2theta| $ .
Da qui mi blocco e nemmeno sono sicuro di aver fatto tutto giusto.
Vi chiedo con gentilezza se potreste risolvermi il mio dilemma.
Grazie in anticipo
Il quesito che vi propongo è stato preso da un compito d'esame di Analisi 1 Ing.Gestionale Sapienza:
Il testo chiede:
"Calcolare l'area della regione piana contenuta nella curva : $ (x^2 +y^2)^3=36x^2y^2 $ e nel primo quadrante "
Vi spiego in dettaglio come ho proceduto e dove mi sono bloccato.
In primis devo cercare gli estremi d'integrazione, allora notando una certa utilità, procedo con il cambio di variabili in coordinate polari.
La curva mi diventa di cosi $ rho ^2=36cos^2thetasin^2theta $ , da qui trovo che $ rho $ è compreso tra
$ 0 <= rho <= 3|sen2theta| $ .
Da qui mi blocco e nemmeno sono sicuro di aver fatto tutto giusto.
Vi chiedo con gentilezza se potreste risolvermi il mio dilemma.
Grazie in anticipo
Risposte
CIao e benvenuto!
Per calcolare l'area sottesa da una curva in coordinate polari, puoi usare la formula $\frac{1}{2} \int \rho^2(\theta) d\theta$. Osserva che $\theta \in (0,\pi/2)$ perché sei nel primo quadrante.
Per calcolare l'area sottesa da una curva in coordinate polari, puoi usare la formula $\frac{1}{2} \int \rho^2(\theta) d\theta$. Osserva che $\theta \in (0,\pi/2)$ perché sei nel primo quadrante.
Prima di tutto grazie per l'interesse 
Ho provato a pensarci un po su a quello che mi hai detto, ma non riesco proprio a capire in che modo utilizzare la formula...
Ho provato a pensarci un po su a quello che mi hai detto, ma non riesco proprio a capire in che modo utilizzare la formula...
Tu hai già scritto l'equazione della curva in coordinate polari $\rho(\theta)$ (anzi hai già direttamente $\rho^2(\theta)$). Quindi basta sostituire nell'integrale e calcolarlo.
Rende tutto più facile, grazie mille.
Comunque se non avessi saputo questa formula, il theta come avrei potuto trovarlo?
Comunque se non avessi saputo questa formula, il theta come avrei potuto trovarlo?
Dovresti avere un dominio normale per fare quello che dici tu. Il grafico di quella curva è un "petalo" attaccato all'origine, simmetrico rispetto alla bisettrice del primo quadrante. Forse ruotando gli assi di 45*, è più facile scriverlo come dominio normale, ma non sono sicuro che si possano escrivere esplicitamente le curve tra cui è compresa la $y$
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