Integrale doppio con parametro

[Valchiria1]

Salve, non riesco ad andare avanti nella risoluzione di questo esercizio:

Sia $k=0,1,2...$ un numero naturale, $r,R$ numeri reali t.c. $0
$ int int_(C)^() (xy^k)/(x^2+y^2)dx dy $ dove $C$ è la parte situata nel primo quadrante della corona circolare di centro $(0,0)$ e raggi $r,R$
Il risultato è $ (R^(k+1)-r^(k+1))/(k+1)^2 $

Considero il dominio normale rispetto a x: $0<=x<=R$ e per def $alpha(x)<=y<= beta(x)$ dove $beta$ è fisso a $beta(x)=(R^2-x^2)^(1/2)$ mentre $alpha$ lo considero:

$alpha(x)=0$ se $r<=x<=R$

$alpha(x)=(r^2-x^2)^(1/2)$ se $0<=x<=r$

Imposto l'integrale e ho:
$ int_(0)^(R) int_(alpha(x))^(beta(x)) (xy^k)/(x^2+y^2) dx dy $
Però non so procedere nel calcolare l'integrale rispetto ad y data la presenza di k, un aiuto?

[dissonance]

Usa le coordinate polari.

[Valchiria1]

L'esercizio richiede lo svolgimento senza il cambiamento di variabili.

edit: l'ho risolto, basta semplicemente considerare il dominio normale rispetto ad y e l'integrale è molto più fattibile.