Integrale doppio con conti brutti
Ciao a tutti, stavo svolgendo il seguente integrale doppio: $\int_D f(x,y) dx dy$, dove $f(x,y) = x^2y(x^2-y)$ e invece $D = {x^2+4y^2 \le 1, y \ge |x|}$.
Praticamente $D$ è un "triangolo" in alto dell'ellisse $x^2 + 4y^2 \le 1$.
In particolare, i punti con $y > 0$ dove $y=|x|$ incontra l'ellisse sono dati da: $P1( 1/\sqrt5, 1/\sqrt5)$ e $P2(-1/sqrt5, 1/sqrt5)$
Ora, dato che $f$ è pari rispetto la variabile $x$ e $D$ è simmetrico rispetto la retta $x = 0$. vale che:
$\int_D f = 2 \int_(D') f$, dove $D' = D \cap {x >= 0}$, ovvero il triangolino a destra.
Ho provato ad andare in coordinate ellittiche, ponendo $x = 2\rho \cos \theta; y= \rho \sin \theta$ e ricavando che $\rho \in [0, 1/2]$ e invece per $theta$ deve valere che $\sin \theta \ge 2 \cos \theta$ e $\cos \theta \ge 0$, dunque si ottiene che $tan \theta \ge 2$, ovvero $\theta \in [\arctan 2, \pi/2]$.
invece $f(\rho, \theta) = \rho^3\cos^2 \theta \sin \theta (\rho^2 \cos^2 \theta - \rho \sin \theta) = \rho^4 \cos^2 \theta \sin \theta (\rho \cos^2\theta - \sin \theta)$.
Dunque $\int_(D') f(\rho, \theta) \rho d\rho d\theta = \int_0^(1/2) d\rho \int_(\arctan 2)^(\pi/2) \rho^6 \cos^4 \theta \sin \theta - \rho^5 \cos^2\theta \sin^2\theta d\theta$
svolgendo l'integrale in $d\theta$ viene:
$\int_0^(1/2) (\rho^6)/5 \cos^5 (\arctan 2) - (\rho^5)/(32) (2\pi -4 \arctan 2 + \sin(4 \arctan 2)) d\rho $
La mia domanda è: sto facendo bene i calcoli, o ho sbagliato qualcosa?
Praticamente $D$ è un "triangolo" in alto dell'ellisse $x^2 + 4y^2 \le 1$.
In particolare, i punti con $y > 0$ dove $y=|x|$ incontra l'ellisse sono dati da: $P1( 1/\sqrt5, 1/\sqrt5)$ e $P2(-1/sqrt5, 1/sqrt5)$
Ora, dato che $f$ è pari rispetto la variabile $x$ e $D$ è simmetrico rispetto la retta $x = 0$. vale che:
$\int_D f = 2 \int_(D') f$, dove $D' = D \cap {x >= 0}$, ovvero il triangolino a destra.
Ho provato ad andare in coordinate ellittiche, ponendo $x = 2\rho \cos \theta; y= \rho \sin \theta$ e ricavando che $\rho \in [0, 1/2]$ e invece per $theta$ deve valere che $\sin \theta \ge 2 \cos \theta$ e $\cos \theta \ge 0$, dunque si ottiene che $tan \theta \ge 2$, ovvero $\theta \in [\arctan 2, \pi/2]$.
invece $f(\rho, \theta) = \rho^3\cos^2 \theta \sin \theta (\rho^2 \cos^2 \theta - \rho \sin \theta) = \rho^4 \cos^2 \theta \sin \theta (\rho \cos^2\theta - \sin \theta)$.
Dunque $\int_(D') f(\rho, \theta) \rho d\rho d\theta = \int_0^(1/2) d\rho \int_(\arctan 2)^(\pi/2) \rho^6 \cos^4 \theta \sin \theta - \rho^5 \cos^2\theta \sin^2\theta d\theta$
svolgendo l'integrale in $d\theta$ viene:
$\int_0^(1/2) (\rho^6)/5 \cos^5 (\arctan 2) - (\rho^5)/(32) (2\pi -4 \arctan 2 + \sin(4 \arctan 2)) d\rho $
La mia domanda è: sto facendo bene i calcoli, o ho sbagliato qualcosa?
Risposte
Ciao Lebesgue,
Ora devo uscire e non ho tempo di controllare i conti, ma spero che questo sia un typo e tu non abbia fatto i conti con questa che non è un ellisse, ma un cerchio. L'equazione dell'ellisse è $x^2/1^2 + y^2/(1/2)^2 \le 1 $
"Lebesgue":
Praticamente $D$ è un "triangolo" in alto dell'ellisse $x^2+y^2 \le 1$.
Ora devo uscire e non ho tempo di controllare i conti, ma spero che questo sia un typo e tu non abbia fatto i conti con questa che non è un ellisse, ma un cerchio. L'equazione dell'ellisse è $x^2/1^2 + y^2/(1/2)^2 \le 1 $
"pilloeffe":
Ciao Lebesgue,
[quote="Lebesgue"]Praticamente $D$ è un "triangolo" in alto dell'ellisse $x^2+y^2 \le 1$.
Ora devo uscire e non ho tempo di controllare i conti, ma spero che questo sia un typo e tu non abbia fatto i conti con questa che non è un ellisse, ma un cerchio. L'equazione dell'ellisse è $x^2/1^2 + y^2/(1/2)^2 \le 1 $[/quote]
No no, confermo che è stato solo un errore di battitura (che ho provveduto a correggere).
Tutti i conti li ho fatti con l'ellisse $x^2 +4y^2 \<= 1$
Ok, dubito che sia comodo passare alle coordinate polari (che comunque avrei scelto diversamente). Osserverei che per $0 \le x \le 1/\sqrt5 $ si ha $x \le y \le 1/2 \sqrt{1 - x^2} $
"pilloeffe":
Ok, dubito che sia comodo passare alle coordinate polari (che comunque avrei scelto diversamente). Osserverei che per $0 \le x \le 1/\sqrt5 $ si ha $x \le y \le 1/2 \sqrt{1 - x^2} $
Come le avresti scelte?
Comunque io ho provato a risolvere l'integrale anche senza passare in ellittiche, ma rimanendo in cartesiane, tuttavia mi escono in ogni caso dei conti osceni (principalmente per come è fatta la funzione).
Mi serve solo sapere se i conti in sè per sè siano giusti o meno
"Lebesgue":
Comunque io ho provato a risolvere l'integrale anche senza passare in ellittiche, ma rimanendo in cartesiane, tuttavia mi escono in ogni caso dei conti osceni (principalmente per come è fatta la funzione).
Vero, ma non così tanto, provaci più convintamente:
$\int_D f(x,y) \text{d}x \text{d}y = 2 \int_{D'} f(x,y) \text{d}x \text{d}y = 2\int_0^{1/\sqrt5}{\int_x^{1/2 \sqrt{1 - x^2}} x^2y(x^2-y) \text{d}y} \text{d}x = $
$ = 2\int_0^{1/\sqrt5}{x^4\int_x^{1/2 \sqrt{1 - x^2}} y \text{d}y - x^2 \int_x^{1/2 \sqrt{1 - x^2}} y^2 \text{d}y} \text{d}x = $
$ = 2\int_0^{1/\sqrt5}{x^4 [y^2/2]_x^{1/2 \sqrt{1 - x^2}} - x^2 [y^3/3]_x^{1/2 \sqrt{1 - x^2}}} \text{d}x = $
$ = 2\int_0^{1/\sqrt5}{x^4/8 (1 - 5x^2) - x^2/24 (1 - x^2)^{3/2} + 1/3 x^5} \text{d}x = $
$ = 1/4 \int_0^{1/\sqrt5} x^4(1 - 5x^2) \text{d}x - 1/12 \int_0^{1/\sqrt5} x^2 (1 - x^2)^{3/2} \text{d}x + 2/3 \int_0^{1/\sqrt5} x^5 \text{d}x = $
$ = 1/(1750\sqrt5) + 1/1125 - 1/192 arcsin(1/\sqrt5) + 13/36000 = $
$ = 1/800 + 1/(1750\sqrt5) - 1/192 arcsin(1/\sqrt5) $
"Lebesgue":
Come le avresti scelte?
$x = \rho cos\theta $ e $y =1/2 \rho sin\theta $, sicché $\rho \in [0, 1] $, ma sconsiglierei...
"pilloeffe":
$x = \rho cos\theta $ e $y =1/2 \rho sin\theta $, sicché $\rho \in [0, 1] $, ma sconsiglierei...
scusami ma onestamente è una scelta del tutto identica alla mia $x = 2\rho \cos\theta, y=\rho \sin \theta$, solo che nel tuo caso hai un $1/2$ che ti devi portare avanti per tutti i calcoli, mentre nel mio caso semplicemente cambia l'insieme dove varia la $\rho$, non ci si guadagna più di tanto...
"Lebesgue":
solo che nel tuo caso hai un $1/2$ che ti devi portare avanti per tutti i calcoli, mentre nel mio caso semplicemente cambia l'insieme dove varia la $\rho $, non ci si guadagna più di tanto...
Beh no, l'$1/2 $ lo semplifichi subito col $2$ davanti all'integrale, poi siamo d'accordo che non è che ci si guadagni più di tanto (fatta eccezione per l'estremo di integrazione superiore: ci si porta dietro un $1$ invece che un $1/2$, i calcoli si semplificano): infatti per un integrale del genere sconsiglierei in ogni caso di passare alle coordinate ellittiche. A proposito di queste ultime, ti segnalo che lo jacobiano in tali coordinate non è $\rho $, ma è $a b \rho $: quindi con la tua scelta di coordinate ellittiche $|J| = 2\rho $, con la mia scelta invece $|J| = 1/2 \rho $.
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