Integrale doppio con cambiamento di variabili
Ciao a tutti,
non mi torna il mio risultato, rispetto a quello del libro, potreste verificare se ho fatto i passaggi corretti?
Il testo è:
Sia $S$ il semicerchio di centro $(r,0)$ e raggio $r$ (con $r$ parametro positivo) contenuto nel semipiano positivo.
Calcolare
Io ho fatto così: ho preso le coordinate polari date da
Gli estremi di integrazione mi vengono quindi
e $x$ in coordinate polari diviene $\rho cos\theta$
Quindi l'integrale da calcolare diviene
e svolgendo i calcoli mi viene
Cosa sbaglio?
non mi torna il mio risultato, rispetto a quello del libro, potreste verificare se ho fatto i passaggi corretti?
Il testo è:
Sia $S$ il semicerchio di centro $(r,0)$ e raggio $r$ (con $r$ parametro positivo) contenuto nel semipiano positivo.
Calcolare
$\int \int_S x dx dy$
Io ho fatto così: ho preso le coordinate polari date da
$ { ( x=\rhocos\theta ),( y=\rhosin\theta ):} $
Gli estremi di integrazione mi vengono quindi
$ \rho \in [0,r] $
$ \theta\in [0,pi] $
e $x$ in coordinate polari diviene $\rho cos\theta$
Quindi l'integrale da calcolare diviene
$ \int_0^r d\rho \int_0^pi \rho^2cos\thetad\theta $
e svolgendo i calcoli mi viene
$ \int_0^r \rho^2d\rho \int_0^pi cos\thetad\theta = r^3/3*0 = 0 $
Cosa sbaglio?
Risposte
Niente. Non è strano che l'integrale si annulli. Potevi anche dirlo da subito senza fare nessun conto.
Se ho fatto bene, allora la cosa strana è: perché sul libro mette come risultato $1/2\pi r$??
Sicuramente c'è una differenza nell'interpretazione del semipiano. Tu hai preso $\{y>0\}$. Prova un po' a prendere $\{x>0\}$ invece.
Stai integrando una quantitá sempre positiva (x nel primo quadrante é ovviamente maggiore di zero), quindi é impossibile che il risultato sia 0.
Il motivo per cui ti viene zero é perché sei passato alle coordinate polari con centro in (0,0). In questo caso il semicerchio ha centro (r,0). perció invece che usare $$ x = \rho sin \theta, $$ bisogna fare $$ x - r = \rho sin \theta . $$
Inoltre, ricordati che anche l'elemento infinitesimo cambia, cambiando le coordinate: si passa da $ dxdy $ a $ \rho d\rho d\theta$. Questo é molto importante, ricorda che $ dxdy \ne d\rhod\theta$.
Il motivo per cui ti viene zero é perché sei passato alle coordinate polari con centro in (0,0). In questo caso il semicerchio ha centro (r,0). perció invece che usare $$ x = \rho sin \theta, $$ bisogna fare $$ x - r = \rho sin \theta . $$
Inoltre, ricordati che anche l'elemento infinitesimo cambia, cambiando le coordinate: si passa da $ dxdy $ a $ \rho d\rho d\theta$. Questo é molto importante, ricorda che $ dxdy \ne d\rhod\theta$.
@bassi: Bugger ha integrato nel semipiano $y>0$, dove la $x$ cambia segno eccome. Anzi, è simmetrica e per questo l'integrale si annulla. Lo svolgimento è ben fatto.
@dissonance : mi sembra che il testo dica che il centro del semicerchio é in (r,0) con r > 0, dove r é il raggio del cerchio stesso.
E' vero, hai proprio ragione, il testo dice cosi'. Il mio commento è relativo allo svolgimento di bugger, che ha calcolato l'integrale sul semicerchio di centro $0$ e raggio $r$ e contenuto nel semipiano superiore. Quello svolgimento è ben fatto, peccato che non fosse lo svolgimento richiesto dall'esercizio.
@bugger: Il problema è quindi nell'interpretazione del testo: ti diceva di integrare su un dominio ma hai integrato su un altro dominio.
@bugger: Il problema è quindi nell'interpretazione del testo: ti diceva di integrare su un dominio ma hai integrato su un altro dominio.
"bugger":
Cosa sbaglio?
secondo me sbagli gli estremi di integrazione....ora controllo
(come ha già osservato dissonance)
"bassi0902":
bisogna fare $$ x - r = \rho sin \theta . $$
non è necessario cambiare variabile
EDIT: forse non è necessario ma magari conviene
Dunque quali sarebbero gli estremi di integrazione?
il testo, tradotto in algebra è il seguente:
$ int int_(S)^() xdx dy $
$S:{ ( (x-r)^2+y^2<=r^2 ),( y>0 ):}$
svolgendo i passaggi algebrici e quindi passando in coordinate polari abbiamo:
${ ( rho^2-2rrhocostheta<0),( rhosentheta>0 ):}$
${ ( rho<2rcostheta ),( sentheta>0 ),( costheta>0 ),(rho>0):}$ ovvero:
${ ( 0
(ho fatto i conti velocemente, spero correttamente)
$ int int_(S)^() xdx dy $
$S:{ ( (x-r)^2+y^2<=r^2 ),( y>0 ):}$
svolgendo i passaggi algebrici e quindi passando in coordinate polari abbiamo:
${ ( rho^2-2rrhocostheta<0),( rhosentheta>0 ):}$
${ ( rho<2rcostheta ),( sentheta>0 ),( costheta>0 ),(rho>0):}$ ovvero:
${ ( 0
(ho fatto i conti velocemente, spero correttamente)
Essendo il semipiano positivo, mi viene che $\theta \in [0,\pi]$, no?
Uff, continuo a non capire, evidentemente c'è qualcosa che mi sfugge nelle coordinate polari
Uff, continuo a non capire, evidentemente c'è qualcosa che mi sfugge nelle coordinate polari
"bugger":
Essendo il semipiano positivo, mi viene che $\theta \in [0,\pi]$, no?
Uff, continuo a non capire, evidentemente c'è qualcosa che mi sfugge nelle coordinate polari
mmmh...non è detto; ho fatto i conti in dettaglio e mi viene $0
puoi anche non utilizzarle le coordinate polari, vista la forma funzionale dell'integranda...trasli la circonferenza in (0;0) e cambi variabile come ha detto bassi0902 in un post precedente. invece di x e y avrai t e y e poi integri il dominio così come lo vedi rappresentato in coordinate cartesiane...in coordinate polari non hai più la circonferenza ma un'altra figura in un piano $theta$ e $rho$
"Semipiano positivo" non significa niente, bugger. O è positiva la $x$ o è positiva la $y$. Nel dubbio calcola tutti e due gli integrali: uno dei due deve essere quello del libro.
Ho molta confusione, "semipiano positivo" non significa che stiamo considerando la parte di cerchio che sta sopra l'asse delle x?
@ Tommik: come hai fatto i calcoli per farti venire quegl'estremi?
@ Tommik: come hai fatto i calcoli per farti venire quegl'estremi?
"bugger":
1) Ho molta confusione, "semipiano positivo" non significa che stiamo considerando la parte di cerchio che sta sopra l'asse delle x?
2) @ Tommik: come hai fatto i calcoli per farti venire quegl'estremi?
1) secondo me sì, ovvero parte di piano con y>0
2) ho espresso il testo in sistema di disequazioni $S:{ ( (x-r)^2+y^2<=r^2 ),( y>0 ):}$
3) ho svolto i calcoli....quadrato del binomio, semplificato ciò che si poteva semplificare ecc ecc....ho sostituito x e y in coordinate polari, $x=rhocostheta$ e $y=rhosentheta$
4) ho ottenuto quanto espresso, considerando TUTTE le disequazioni interessate
non sono in una postazione stabile...ho fatto i conti direttamente sullo schermo del PC, spero di non aver fatto qualche errore....il metodo è giusto, controlla e vedi se ti torna il risultato
@tommik
il tuo metodo é giusto ma produce un integrale piuttosto complicato da risolvere, visti i complicati estremi di integrazione.
$ int int_(S)^() xdx dy $
$ S:{ ( (x-r)^2+y^2<=r^2 ),( y>0 ):} $
$ { ( 0
svolgendo in questo modo l'integrale ottieni:
\begin{eqnarray*}
\iint_{S} x dx dy &=& \int_{0}^{\pi/2} \left( \int_{0}^{2rcos\theta} \rho \, cos\theta \, \rho d\rho \right) d\theta \\
&=& \int_{0}^{\pi/2} \left( \int_{0}^{2rcos\theta} \rho^2 d\rho \right) cos\theta d\theta \\
&=& \int_{0}^{\pi/2} \left[ \frac{\rho^3}{3} \right]_{0}^{2rcos\theta} cos\theta d\theta \\
&=& \int_{0}^{\pi/2} \frac{8r^3 cos^4\theta}{3} d\theta \\
&=& \frac{8r^3}{3}\int_{0}^{\pi/2} cos^4\theta d\theta \\
\end{eqnarray*}
Adesso, come tutti sappiamo, integrare il coseno elevato a una potenza pari puó essere ostico e richiede le formule di bisezione. Per dettagli rimando qui: https://www.wolframalpha.com/input/?i=int+cos%5E4x+dx , per i passaggi svolti invece rimando qui: https://it.answers.yahoo.com/question/i ... 920AA91Tuf .
Svolgendo l'ultimo passaggio si ha:
\begin{eqnarray*}
&& \frac{8r^3}{3}\int_{0}^{\pi/2} cos^4\theta d\theta = \\
&=& \frac{8r^3}{3}\left[ \frac{1}{32} (12 x+8 sin(2 x)+sin(4 x))\right]_{0}^{\pi/2} \\
&=& \frac{8r^3}{3} \left( \frac{3}{8} \pi/2 \right) = \frac{1}{2}\pi r^3
\end{eqnarray*}
Tutto questo sforzo puó essere evitato se integriamo cambiando il sistema di riferimento, centrandolo nel punto $(r,0)$, ovvero sostituendo a $x$, $x-r$.
$ { ( (x-r) = \rho cos\theta ),( y = \rho sin \theta ):} $
Centrando il sistema di riferimento nel centro del semicerchio gli estremi di integrazione diventano semplici:
$ { ( 0
Quindi basta svolgere l'integrale:
\begin{eqnarray*}
\iint_{S} x dx dy &=& \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{r} (r + \rho cos\theta) \, \rho d\rho d\theta \\
&=& \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{r} r \rho d\rho d\theta + \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{r} \rho^2 cos\theta d\rho d\theta \\
&=& \int_{0}^{\pi} d\theta \int_{0}^{r} r \rho d\rho + \int_{0}^{\pi} cos\theta d\theta \int_{0}^{r} \rho^2 d\rho \\
&=& r \left[ \theta \right]_{0}^{\pi} \left[ \frac{\rho^2}{2} \right]_{0}^{r} + \left[ sin\theta \right]_{0}^{\pi} \left[ \frac{\rho^3}{3} \right]_{0}^{r} \\
&=& \frac{1}{2}\pi r^3
\end{eqnarray*}
dove l'integrale di destra nella somma si annulla.
Spero di non aver commesso errori e di aver chiarificato un po'.
il tuo metodo é giusto ma produce un integrale piuttosto complicato da risolvere, visti i complicati estremi di integrazione.
$ int int_(S)^() xdx dy $
$ S:{ ( (x-r)^2+y^2<=r^2 ),( y>0 ):} $
$ { ( 0
svolgendo in questo modo l'integrale ottieni:
\begin{eqnarray*}
\iint_{S} x dx dy &=& \int_{0}^{\pi/2} \left( \int_{0}^{2rcos\theta} \rho \, cos\theta \, \rho d\rho \right) d\theta \\
&=& \int_{0}^{\pi/2} \left( \int_{0}^{2rcos\theta} \rho^2 d\rho \right) cos\theta d\theta \\
&=& \int_{0}^{\pi/2} \left[ \frac{\rho^3}{3} \right]_{0}^{2rcos\theta} cos\theta d\theta \\
&=& \int_{0}^{\pi/2} \frac{8r^3 cos^4\theta}{3} d\theta \\
&=& \frac{8r^3}{3}\int_{0}^{\pi/2} cos^4\theta d\theta \\
\end{eqnarray*}
Adesso, come tutti sappiamo, integrare il coseno elevato a una potenza pari puó essere ostico e richiede le formule di bisezione. Per dettagli rimando qui: https://www.wolframalpha.com/input/?i=int+cos%5E4x+dx , per i passaggi svolti invece rimando qui: https://it.answers.yahoo.com/question/i ... 920AA91Tuf .
Svolgendo l'ultimo passaggio si ha:
\begin{eqnarray*}
&& \frac{8r^3}{3}\int_{0}^{\pi/2} cos^4\theta d\theta = \\
&=& \frac{8r^3}{3}\left[ \frac{1}{32} (12 x+8 sin(2 x)+sin(4 x))\right]_{0}^{\pi/2} \\
&=& \frac{8r^3}{3} \left( \frac{3}{8} \pi/2 \right) = \frac{1}{2}\pi r^3
\end{eqnarray*}
Tutto questo sforzo puó essere evitato se integriamo cambiando il sistema di riferimento, centrandolo nel punto $(r,0)$, ovvero sostituendo a $x$, $x-r$.
$ { ( (x-r) = \rho cos\theta ),( y = \rho sin \theta ):} $
Centrando il sistema di riferimento nel centro del semicerchio gli estremi di integrazione diventano semplici:
$ { ( 0
Quindi basta svolgere l'integrale:
\begin{eqnarray*}
\iint_{S} x dx dy &=& \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{r} (r + \rho cos\theta) \, \rho d\rho d\theta \\
&=& \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{r} r \rho d\rho d\theta + \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{r} \rho^2 cos\theta d\rho d\theta \\
&=& \int_{0}^{\pi} d\theta \int_{0}^{r} r \rho d\rho + \int_{0}^{\pi} cos\theta d\theta \int_{0}^{r} \rho^2 d\rho \\
&=& r \left[ \theta \right]_{0}^{\pi} \left[ \frac{\rho^2}{2} \right]_{0}^{r} + \left[ sin\theta \right]_{0}^{\pi} \left[ \frac{\rho^3}{3} \right]_{0}^{r} \\
&=& \frac{1}{2}\pi r^3
\end{eqnarray*}
dove l'integrale di destra nella somma si annulla.
Spero di non aver commesso errori e di aver chiarificato un po'.
"bassi0902":
@tommik
il tuo metodo é giusto ma produce un integrale piuttosto complicato da risolvere, visti i complicati estremi di integrazione.
Caro collega ...quando ho detto che il cambio di variabili che hai proposto non era necessario non avevo nemmeno guardato la funzione integranda (grossolano errore perché ricordo che la forma funzionale dell'integranda è una componente importante nella scelta del metodo di integrazione)
...teoricamente i metodi vanno bene entrambi, però se con il cambio di variabile la funzione si semplifica allora stop @Bugger: potresti comunque provarli entrambi i metodi, giusto per fare ginnastica alla mente, anche perché sono due metodi fondamentali per il trattamento degli integrali doppi
"tommik":
Caro collega ...quando ho detto che il cambio di variabili che hai proposto non era necessario non avevo nemmeno guardato la funzione integranda (grossolano errore perché ricordo che la forma funzionale dell'integranda è una componente importante nella scelta del metodo di integrazione)
Non c'é problema carissimo. Anzi, é stato un buon esercizio provare entrambi i metodi e verificare che il risultato combaciasse, lo consiglio a tutti.
"bassi0902":
per i passaggi svolti invece rimando qui: https://it.answers.yahoo.com/question/i ... 920AA91Tuf
Noo, una citazione di Yahoo answers!
Personalmente consiglio di evitarlo come il debito, quando si parla di matematica. (Veramente io consiglio di evitarlo anche quando si parla d'altro). Ne abbiamo parlato proprio di recente su questo forum, meglio citare questo:
viewtopic.php?f=36&t=146882&p=923068
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