Integrale doppio - calcolo area
Buonasera, mi sono imbattuto nel seguente esercizio: $int_(Omega) 1/(x^2+y^2) dxdy $ dove $Omega$ è la circonferenza di centro $(1,0)$ e raggio $1$. L'equazione della circonferenza è $(x-1)^2+y^2=1$ e per risolvere l'integrale si passa in coordinate polari ottenendo $int_(Omega) 1/rho d rho d theta$ e la circonferenza $rho(-2cos(theta) +rho)<=0$.
A questo punto cosa devo fare per calcolare gli estremi di integrazione? Non riesco a trovare quali angoli usare (personalmente userei $theta in [0, 2pi]$, che si usa anche per le circonferenze centrate nell'origine) né tanto meno in quale intervallo far variare $rho$ (sicuramente dipenderà da $theta$, ma in che modo?)
A questo punto cosa devo fare per calcolare gli estremi di integrazione? Non riesco a trovare quali angoli usare (personalmente userei $theta in [0, 2pi]$, che si usa anche per le circonferenze centrate nell'origine) né tanto meno in quale intervallo far variare $rho$ (sicuramente dipenderà da $theta$, ma in che modo?)
Risposte
$ Omega $ è il cerchio, non la circonferenza
in coordinate polari la circonfernza ha equazione $rho=2costheta$
se disegni la circonferenza puoi vedere che $theta$ varia tra $-pi/2$ e $pi/2$
per ogni $theta$, $rho$ varia tra $0$ e $ 2costheta$
p.s. non stiamo calcolando nessuna area
in coordinate polari la circonfernza ha equazione $rho=2costheta$
se disegni la circonferenza puoi vedere che $theta$ varia tra $-pi/2$ e $pi/2$
per ogni $theta$, $rho$ varia tra $0$ e $ 2costheta$
p.s. non stiamo calcolando nessuna area
Come ti ha già correttamente scritto l'abatefarina, le limitazioni su $\rho$ e $\theta$ sono quelle.
Se vuoi trovarle analiticamente, puoi notare che $\rho(-2\cos \theta + \rho) \leq 0$ porta a $\rho \leq 0$ oppure $-2\cos \theta + \rho \leq 0$; hai che $\rho \leq 0$ non aggiunge informazioni ($\rho$ è un raggio, quindi è definito non negativo), mentre da $-2\cos \theta + \rho \leq 0$ deduci che $\rho \leq 2\cos \theta$.
Dunque, considerata anche la suddetta limitazione naturale $\rho \geq 0$, hai che $0 \leq \rho \leq 2\cos \theta$.
Per trovare dove varia l'angolo: da $0 \leq \rho \leq 2\cos \theta$ per transitività deve essere $2\cos \theta \geq 0$, dunque deve essere $\cos \theta \geq 0$ che, nell'intervallo $[0,2\pi)$, è verificata per $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$.
Se vuoi trovarle analiticamente, puoi notare che $\rho(-2\cos \theta + \rho) \leq 0$ porta a $\rho \leq 0$ oppure $-2\cos \theta + \rho \leq 0$; hai che $\rho \leq 0$ non aggiunge informazioni ($\rho$ è un raggio, quindi è definito non negativo), mentre da $-2\cos \theta + \rho \leq 0$ deduci che $\rho \leq 2\cos \theta$.
Dunque, considerata anche la suddetta limitazione naturale $\rho \geq 0$, hai che $0 \leq \rho \leq 2\cos \theta$.
Per trovare dove varia l'angolo: da $0 \leq \rho \leq 2\cos \theta$ per transitività deve essere $2\cos \theta \geq 0$, dunque deve essere $\cos \theta \geq 0$ che, nell'intervallo $[0,2\pi)$, è verificata per $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$.
"Lorenzo_99":
Non riesco a trovare quali angoli usare (personalmente userei $theta in [0, 2pi]$, che si usa anche per le circonferenze centrate nell'origine)
La risposta è no.
Se ti trovi comfortevole solo con domini con circonferenze centrate nell'origine, allora usa una sostituzione ad hoc
$ { ( x-1=rcos(theta) ),( y=rsin(theta) ):} $
"l'abatefarina":
in coordinate polari la circonfernza ha equazione $rho=2costheta$
Probabilmente è una banalità che non sto vedendo ma come fa ad essere questa l'equazione della circonferenza invece di $-2cos(theta)+rho^2 = 0$?
"Mephlip":
Per trovare dove varia l'angolo: da $ 0 \leq \rho \leq 2\cos \theta $ per transitività deve essere $ 2\cos \theta \geq 0 $, dunque deve essere $ \cos \theta \geq 0 $ che, nell'intervallo $ [0,2\pi) $, è verificata per $ -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} $.
Quindi è questo l'unico motivo per cui scegliamo l'intervallo $[-pi/2, pi/2]$? Non possiamo arbitrariamente dire è $[-pi/2, pi/2]$ perchè la circonferenza si trova completamente a destra dell'origine (oppure $[pi/2, -pi/2]$(?) perchè si trova a sinistra), giusto?
Inoltre perchè possiamo ignorare il fatto che coseno debba essere maggiore di $rho$ (ovvero: $\rho \leq 2\cos \theta $)?
"Bokonon":
Se ti trovi comfortevole solo con domini con circonferenze centrate nell'origine, allora usa una sostituzione ad hoc
$ { ( x-1=rcos(theta) ),( y=rsin(theta) ):} $
Sono a più agio con quei domini perchè gli estremi di integrazione sono praticamente immediati: se ad esempio ho due circonferenze e mi interessa l'area della corona compresa tra di esse ho che $theta$ varia tra $0$ e $2pi$ mentre $rho$ varia tra il raggio minore e quello maggiore.
In ogni caso, avevo provato anche quella sostituzione ma, almeno in questa occasione, non mi sembra porti ad un integrale molto agevole (non che cambi qualcosa dall'altro caso, visto che se non ho sbagliato i calcoli otteniamo l'integrale di $ln(cos(theta))$, però almeno con le sostituzioni "normali" uno dei due integrali sono riuscito a farlo).
"Lorenzo_99":
Quindi è questo l'unico motivo per cui scegliamo l'intervallo $[-pi/2, pi/2]$? Non possiamo arbitrariamente dire è $[-pi/2, pi/2]$ perchè la circonferenza si trova completamente a destra dell'origine
Rozzamente sì (anche se in questi casi l'approccio rozzo lo consiglio), ma tu stesso nel messaggio iniziale di questa conversazione hai detto di aver avuto problemi nel trovare l'angolo; se lo vuoi trovare per via grafica non ci sono problemi, a patto che tu riesca a disegnare bene l'insieme di integrazione e che ti sia ben chiaro cosa siano le coordinate polari.
"Lorenzo_99":
oppure $[pi/2, -pi/2]$(?) perchè si trova a sinistra
Perché dovresti considerare un intervallo scritto in ordine sbagliato?
Se invece vuoi trovare l'angolo per via analitica ti ho fatto vedere da dove spunta fuori, se hai dei dubbi riguardo a come ho ricavato $\theta$ in riferimento alla tua ultima domanda sul "perché ignoriamo che $\rho \leq 2\cos \theta$" ne parliamo subito!
"Lorenzo_99":
Inoltre perchè possiamo ignorare il fatto che coseno debba essere maggiore di $rho$ (ovvero: $\rho \leq 2\cos \theta $)?
Cosa sai della teoria dell'integrazione in più variabili? Ad esempio, formule di riduzione? Insiemi normali?
"Mephlip":
Rozzamente sì (anche se in questi casi l'approccio rozzo lo consiglio), ma tu stesso nel messaggio iniziale di questa conversazione hai detto di aver avuto problemi nel trovare l'angolo; se lo vuoi trovare per via grafica non ci sono problemi, a patto che tu riesca a disegnare bene l'insieme di integrazione e che ti sia ben chiaro cosa siano le coordinate polari.
Diciamo che vorrei saperlo fare in entrambi i modi. Qui problemi a disegnare la circonferenza non ce ne erano ma graficamente comunque non mi è chiaro perchè scegliere questo intervallo: sì la circonferenza è completamente a destra, e quindi? Gli angoli sono quelli che si formano con l'asse delle x, perchè dovrebbero variare al cambiare della posizione in cui la circonferenza si trova? Nel senso, non è come $rho$ che è centrato nell'origine e la cui lunghezza varia (giustamente) "allo spostarsi" dei punti della circonferenza.
"Mephlip":
[quote="Lorenzo_99"]oppure $[pi/2, -pi/2]$(?) perchè si trova a sinistra
Perché dovresti considerare un intervallo scritto in ordine sbagliato?[/quote]
Inizialmente pensavo che gli intervalli in questo modo non esistessero, però poi il prof. ci ha spiegato che vengono utilizzati fondamentalmente per "andare il contrario". E quindi in questo caso permetterebbero di considerare la parte in cui $cos(theta)<=0$. Altrimenti l'intervallo quale dovrebbe essere?
"Mephlip":Cosa sai della teoria dell'integrazione in più variabili? Ad esempio, formule di riduzione? Insiemi normali?[/quote]
Se invece vuoi trovare l'angolo per via analitica ti ho fatto vedere da dove spunta fuori, se hai dei dubbi riguardo a come ho ricavato $\theta$ in riferimento alla tua ultima domanda sul "perché ignoriamo che $\rho \leq 2\cos \theta$" ne parliamo subito!
[quote="Lorenzo_99"]
Inoltre perchè possiamo ignorare il fatto che coseno debba essere maggiore di $rho$ (ovvero: $\rho \leq 2\cos \theta $)?
Fondamentalmente 0
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
. Abbiamo fatto tutto (integrali doppi/tripli, aree/volumi ecc.) a rotta di collo in circa 2 ore senza praticamente nessun esercizio (infatti l'80% non ne sa fare uno, il restante 20% o ne riesce a fare qualcuno facile oppure risolve gli integrali per tentativi spiaccicando le formule che si trovano in giro). Qualcosa sui domini normali la so (auto-didatta) ma per esempio sulle formule di riduzione non credo di sapere nulla (o magari le so, ma non so che si chiamano così...)
"Lorenzo_99":
Sono a più agio con quei domini perchè gli estremi di integrazione sono praticamente immediati: se ad esempio ho due circonferenze e mi interessa l'area della corona compresa tra di esse ho che $theta$ varia tra $0$ e $2pi$ mentre $rho$ varia tra il raggio minore e quello maggiore.
In ogni caso, avevo provato anche quella sostituzione ma, almeno in questa occasione, non mi sembra porti ad un integrale molto agevole (non che cambi qualcosa dall'altro caso, visto che se non ho sbagliato i calcoli otteniamo l'integrale di $ln(cos(theta))$, però almeno con le sostituzioni "normali" uno dei due integrali sono riuscito a farlo).
Meglio entrare nella mentalità giusta IMHO. Tutto deve entrare nel bagaglio di conoscenze.
Nel caso specifico, la sostituzione porta ad un integrale più complesso (ma non è male esplorare pure quelli): la morale è che c'è un trade off. Talvolta la sostituzione porta a semplificazioni, più spesso no.
E allora occorre anche saper definire il dominio di integrazione e ti hanno già spiegato cosa fare (c'è anche un mio vecchio post in cui spiego il metodo "graficamente").
In altri casi, integrali e domini sono complessi e punto.
Nella stragrande parte dei casi "reali", gli integrali da risolvere non hanno proprio una primitiva elementare e si risolvono numericamente...o come minimo ci si fa un'idea "qualitativa" della primitiva.
Questo è il mondo dell'integrazione...quindi esplorare e farsi l'occhio e le ossa provando differenti strategie è fondamentale. Anche un solo "trucco" in più può fare la differenza. Feynman era solito farsi bello con la derivata sotto integrale, perchè sapeva che non veniva mai insegnata nei corsi universitari. Si era fatto la fama di genio risolutore perchè ogni tanto riusciva a risolvere un problema di integrazione che aveva lasciato a terra tutto il resto della facoltà. Come racconta lui stesso:"Quando non riuscivano a risolvere un integrale, lo portavano da me. Io già sapevo che avevano provato tutti i metodi tradizionali senza successo, quindi usavo l'unico trucco che non avevano nel loro bagaglio...e ogni tanto li stupivo senza mai rivelare il "trucco""
"Bokonon":
[quote="Lorenzo_99"]
Sono a più agio con quei domini perchè gli estremi di integrazione sono praticamente immediati: se ad esempio ho due circonferenze e mi interessa l'area della corona compresa tra di esse ho che $theta$ varia tra $0$ e $2pi$ mentre $rho$ varia tra il raggio minore e quello maggiore.
Meglio entrare nella mentalità giusta IMHO. Tutto deve entrare nel bagaglio di conoscenze.
Nel caso specifico, la sostituzione porta ad un integrale più complesso (ma non è male esplorare pure quelli): la morale è che c'è un trade off. Talvolta la sostituzione porta a semplificazioni, più spesso no.
E allora occorre anche saper definire il dominio di integrazione e ti hanno già spiegato cosa fare (c'è anche un mio vecchio post in cui spiego il metodo "graficamente").[/quote]
Sul conoscere entrambi i "metodi" siamo d'accordo, il mio era solo un modo per spiegare che con i domini "centrati" riesco a capire e so farli (ogni tanto), in tutti gli altri casi ho difficoltà.
"Bokonon":
E allora occorre anche saper definire il dominio di integrazione e ti hanno già spiegato cosa fare (c'è anche un mio vecchio post in cui spiego il metodo "graficamente").
Il tuo post come lo trovo?
Scusa se rispondo solo ora Lorenzo_99, ma il forum è stato (almeno per me) inagibile negli ultimi giorni.
Ok, quindi quella sull'intervallo scritto al contrario è una convenzione simbolica per dire che il verso di percorrenza dell'intervallo è opposto; strano, solitamente si usa un apice/pedice con segno $+$ o $-$ ad indicare il verso di percorrenza, ma ogni docente (e ogni testo) ha le sue notazioni.
Chiaramente, senza una sufficiente conoscenza della teoria è normale che tu abbia questi dubbi: le formule di riduzione sono quelle che ti dicono, brutalmente, che se riesci a scrivere l'insieme di integrazione $A$ facendo variare una variabile $x_1$ in un intervallo numerico $[a,b]$ e l'altra variabile $x_2$ tra due funzioni della variabile $x_1$, diciamo $g(x_1)$ e $h(x_1)$, hai che l'integrale di $f$ su $A$ è dato da
$$\int_A f(x_1,x_2) \text{d}x_1 \text{d}x_2=\int_a^b \left(\int_{g(x_1)}^{h(x_1)} f(x_1,x_2) \text{d}x_2 \right) \text{d}x_1$$
Gli insiemi che si possono scrivere con la variabile $x_1$ che varia in un intervallo numerico e la variabile $x_2$ che varia tra due funzioni di $x_1$ si dicono insiemi normali rispetto ad $x_1$.
Questo continua a valere anche dopo il cambio di variabile, ossia se hai $\theta$ (o $\rho$) che varia in un insieme numerico e $\rho$ (o $\theta$) che varia tra due funzioni di $\theta$ (o $\rho$) puoi applicare la formula suddetta.
Siamo nel primo caso, quello "fuori dalle parentesi" nella frase che ho scritto appena sopra: infatti $\theta \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ mentre $\rho$ varia tra le due funzioni di $\theta$ $g(\theta)=0$ e $h(\theta)=2\cos \theta$; questo è un caso particolare perché $g$ non dipende realmente da $\theta$, tuttavia le funzioni costanti si possono pensare come funzioni di una (o più) variabili qualsiasi e quindi è consistente.
Questo significa che nel caso di $0 \leq \rho \leq 2\cos \theta$ "ignori" che $2\ cos \theta \geq \rho$ perché l'integrazione in più variabili è brutalmente quello che si fa in una variabile ma sulle singole più variabili che intervengono: nel senso che ne fissi una, sommi su quella variabile e poi si procede iterativamente con le altre (questo ti sarebbe stato chiaro dalla teoria, ma capisco che uno voglia un'infarinatura pratica; tuttavia, come vedi, questo porta spesso a non capire le cose appieno).
Perciò uno come la pensa? La pensa così: "Voglio integrare $\theta$ per ultimo perché ho determinato che varia in un intervallo numerico, perciò devo determinare l'intervallo in cui varia $\rho$ che, eventualmente, varierà tra due funzioni di $\theta$. Individuiamo quali sono le due funzioni di $\theta$ tra cui varia $\rho$ a $\theta$ fissato e troviamo le più restrittive, ossia quella più grande dal basso e quella più piccola dall'alto.".
Per farti un altro esempio che può generare confusione se uno non ha chiaro questo pezzo di teoria (detto da me malissimo e approssimativamente), immagina di voler integrare la funzione $f(x,y)=x^2y$ sull'insieme $0 \leq x \leq y \leq 1$; potresti avere lo stesso dubbio.
Chi è l'estremo inferiore di integrazione per $y$? È $0$ o è $x$?
Chi è l'estremo superiore di integrazione per $x$? È $1$ o è $y$?
Una volta osservato come si possono applicare le formule di riduzione sugli insiemi normali, i dubbi sulla scelta degli estremi di integrazione spariscono.
Infatti in questo caso l'insieme è normale sia rispetto ad $x$ che rispetto ad $y$: infatti $0 \leq x \leq y \leq 1 \Rightarrow 0 \leq x \leq 1$ e quindi scegliendo di vederlo come insieme normale rispetto all'asse $x$ la condizione più restrittiva su $y$, come funzione compresa tra due funzioni di $x$, è $x \leq y \leq 1$ e si giunge a
$$\int_0^1 \left(\int_x^1 x^2 y \text{d}y\right) \text{d}x=\frac{1}{15}$$
Analogamente, vedendolo come insieme normale rispetto all'asse $y$ si ha che $0 \leq x \leq y \leq 1 \Rightarrow 0 \leq y \leq 1$ e la condizione più restrittiva su $x$, come funzione compresa tra due funzioni di $y$, è $0 \leq x \leq y$; si giunge a
$$\int_0^1 \left(\int_0^y x^2 y \text{d}x\right) \text{d}y=\frac{1}{15}$$
Nel caso di più condizioni restrittive dall'alto sulle funzioni, si discute il minimo tra le condizioni dall'alto al variare dell'altra variabile di integrazione (ad esempio se avessi, da due disuguaglianze, $\rho \leq 1$ e $\rho \leq 2 \sin \theta$); nel caso di più condizioni restrittive dal basso (ad esempio se avessi, da due disuguaglianze, $\rho \geq \frac{1}{2} $ e $\rho \geq \cos \theta$), si discute il massimo tra le condizioni dal basso al variare dell'altra variabile di integrazione.
Poi, dato che l'integrale è additivo rispetto all'insieme di integrazione, si spezza negli intervalli in cui valgono solo una o solo l'altra condizione date dal massimo (o minimo) e si sommano gli integrali.
Spero che ti sia utile, anche io ho avuto i tuoi stessi dubbi al tempo.
Ok, quindi quella sull'intervallo scritto al contrario è una convenzione simbolica per dire che il verso di percorrenza dell'intervallo è opposto; strano, solitamente si usa un apice/pedice con segno $+$ o $-$ ad indicare il verso di percorrenza, ma ogni docente (e ogni testo) ha le sue notazioni.
Chiaramente, senza una sufficiente conoscenza della teoria è normale che tu abbia questi dubbi: le formule di riduzione sono quelle che ti dicono, brutalmente, che se riesci a scrivere l'insieme di integrazione $A$ facendo variare una variabile $x_1$ in un intervallo numerico $[a,b]$ e l'altra variabile $x_2$ tra due funzioni della variabile $x_1$, diciamo $g(x_1)$ e $h(x_1)$, hai che l'integrale di $f$ su $A$ è dato da
$$\int_A f(x_1,x_2) \text{d}x_1 \text{d}x_2=\int_a^b \left(\int_{g(x_1)}^{h(x_1)} f(x_1,x_2) \text{d}x_2 \right) \text{d}x_1$$
Gli insiemi che si possono scrivere con la variabile $x_1$ che varia in un intervallo numerico e la variabile $x_2$ che varia tra due funzioni di $x_1$ si dicono insiemi normali rispetto ad $x_1$.
Questo continua a valere anche dopo il cambio di variabile, ossia se hai $\theta$ (o $\rho$) che varia in un insieme numerico e $\rho$ (o $\theta$) che varia tra due funzioni di $\theta$ (o $\rho$) puoi applicare la formula suddetta.
Siamo nel primo caso, quello "fuori dalle parentesi" nella frase che ho scritto appena sopra: infatti $\theta \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ mentre $\rho$ varia tra le due funzioni di $\theta$ $g(\theta)=0$ e $h(\theta)=2\cos \theta$; questo è un caso particolare perché $g$ non dipende realmente da $\theta$, tuttavia le funzioni costanti si possono pensare come funzioni di una (o più) variabili qualsiasi e quindi è consistente.
Questo significa che nel caso di $0 \leq \rho \leq 2\cos \theta$ "ignori" che $2\ cos \theta \geq \rho$ perché l'integrazione in più variabili è brutalmente quello che si fa in una variabile ma sulle singole più variabili che intervengono: nel senso che ne fissi una, sommi su quella variabile e poi si procede iterativamente con le altre (questo ti sarebbe stato chiaro dalla teoria, ma capisco che uno voglia un'infarinatura pratica; tuttavia, come vedi, questo porta spesso a non capire le cose appieno).
Perciò uno come la pensa? La pensa così: "Voglio integrare $\theta$ per ultimo perché ho determinato che varia in un intervallo numerico, perciò devo determinare l'intervallo in cui varia $\rho$ che, eventualmente, varierà tra due funzioni di $\theta$. Individuiamo quali sono le due funzioni di $\theta$ tra cui varia $\rho$ a $\theta$ fissato e troviamo le più restrittive, ossia quella più grande dal basso e quella più piccola dall'alto.".
Per farti un altro esempio che può generare confusione se uno non ha chiaro questo pezzo di teoria (detto da me malissimo e approssimativamente), immagina di voler integrare la funzione $f(x,y)=x^2y$ sull'insieme $0 \leq x \leq y \leq 1$; potresti avere lo stesso dubbio.
Chi è l'estremo inferiore di integrazione per $y$? È $0$ o è $x$?
Chi è l'estremo superiore di integrazione per $x$? È $1$ o è $y$?
Una volta osservato come si possono applicare le formule di riduzione sugli insiemi normali, i dubbi sulla scelta degli estremi di integrazione spariscono.
Infatti in questo caso l'insieme è normale sia rispetto ad $x$ che rispetto ad $y$: infatti $0 \leq x \leq y \leq 1 \Rightarrow 0 \leq x \leq 1$ e quindi scegliendo di vederlo come insieme normale rispetto all'asse $x$ la condizione più restrittiva su $y$, come funzione compresa tra due funzioni di $x$, è $x \leq y \leq 1$ e si giunge a
$$\int_0^1 \left(\int_x^1 x^2 y \text{d}y\right) \text{d}x=\frac{1}{15}$$
Analogamente, vedendolo come insieme normale rispetto all'asse $y$ si ha che $0 \leq x \leq y \leq 1 \Rightarrow 0 \leq y \leq 1$ e la condizione più restrittiva su $x$, come funzione compresa tra due funzioni di $y$, è $0 \leq x \leq y$; si giunge a
$$\int_0^1 \left(\int_0^y x^2 y \text{d}x\right) \text{d}y=\frac{1}{15}$$
Nel caso di più condizioni restrittive dall'alto sulle funzioni, si discute il minimo tra le condizioni dall'alto al variare dell'altra variabile di integrazione (ad esempio se avessi, da due disuguaglianze, $\rho \leq 1$ e $\rho \leq 2 \sin \theta$); nel caso di più condizioni restrittive dal basso (ad esempio se avessi, da due disuguaglianze, $\rho \geq \frac{1}{2} $ e $\rho \geq \cos \theta$), si discute il massimo tra le condizioni dal basso al variare dell'altra variabile di integrazione.
Poi, dato che l'integrale è additivo rispetto all'insieme di integrazione, si spezza negli intervalli in cui valgono solo una o solo l'altra condizione date dal massimo (o minimo) e si sommano gli integrali.
Spero che ti sia utile, anche io ho avuto i tuoi stessi dubbi al tempo.
"Mephlip":
Chiaramente, senza una sufficiente conoscenza della teoria è normale che tu abbia questi dubbi: le formule di riduzione sono quelle che ti dicono, brutalmente, che se riesci a scrivere l'insieme di integrazione $A$ facendo variare una variabile $x_1$ in un intervallo numerico $[a,b]$ e l'altra variabile $x_2$ tra due funzioni della variabile $x_1$, diciamo $g(x_1)$ e $h(x_1)$, hai che l'integrale di $f$ su $A$ è dato da
$$\int_A f(x_1,x_2) \text{d}x_1 \text{d}x_2=\int_a^b \left(\int_{g(x_1)}^{h(x_1)} f(x_1,x_2) \text{d}x_2 \right) \text{d}x_1$$
Questa formula la conoscevo sotto il nome di Gauss-Green, però ci è stata fornita "così a senso". Cioè non ci è stata applicata, non ci è stata spiegata né altro. In pratica è come se ci fosse stato detto "quando dovete fare la derivata di $x$ il risultato è $1$", senza parlare di tangenti, rapporti incrementali ecc.
In ogni caso mi sono rimasti 2 dubbi:
1) Perchè questa che calcoliamo non è un'area (come detto da qualcuno sopra). Siamo d'accordo sul formalismo (per certi aspetti giusto) che gli integrali non è detto siano aree in quanto potrebbero avere segni negativi, ma qui che siamo nel I quadrante, quindi perchè non dovrebbe essere un'area? Cosa stiamo calcolando con questo integrale?
2) Perchè si possa ignorare $2cos(theta)>=rho$. L'esempio con $1>=y>=x>=0$ ha leggermente chiarito le idee. Forse c'è qualcosa che non so sulle disequazioni o forse è qualcosa che conosco ma che non riesco a vedere. Se dico che $x>=y>=0$, so che $x>=0$. In più però devo fare in modo che $x>=y$, altrimenti c'è la concreta possibilità di ottenere qualcosa di sbagliato. Ad esempio se avessimo un dominio di una funzione definito da $x>=y>=0$ e considerassi soltanto $x>=0$, per certi punti uscirei dall'insieme (dominio), no?
No, Gauss-Green è un'altra cosa, lega integrali di forme differenziali con integrali doppi; forse ne è un caso particolare, ma mi sembra assurdo introdurlo così.
Scusami, ma che razza di corso è?
Cosa studi?
1) Non c'entrano i segni, l'integrale doppio è il volume sotteso tra il grafico di $z=f(x,y)$ ed il piano $xy$, invece la misura dell'insieme $A$ (ossia l'area se $A\subset\mathbb{R}^2$) è l'integrale doppio su $A$ della funzione $1$; poi occhio perché quello che dici non ha senso, non dipende solo dal quadrante dell'insieme di integrazione il segno di un integrale. Infatti se integri $-x$ nel primo quadrante ottieni comunque un numero negativo (in sostanza dipende anche dalla funzione, ed infatti $-x$ è negativa nel primo quadrante).
2) Non credo di essere sicuro di aver capito il tuo dubbio. Proprio come se integri in $x$ una funzione dipendente da un parametro $t$ ottieni
$$\int_a^b f(x,t) \text{d}x=g(t)$$
Qui succede lo stesso, quindi non capisco il problema in questo caso. Mentre hai osservato correttamente che rischi di "strabordare", qui non può succedere. Fissato $\theta$, $\rho$ varia tra $0$ e $2 \cos \theta$ e dopo l'integrazione non c'è più dipendenza da $\rho$.
Nell'altro esempio che ti ho fatto (non uso il tuo solo perché è un insieme illimitato e secondo me non aiuta a capire) sì, se scrivi entrambi $0 \leq x \leq 1$ ed $0 \leq y \leq 1$ sbagli perché strabordi dall'insieme, integri su un quadrato invece che su un triangolo.
P.S.: Mi sono scordato di rispondere a questo:
Scherzi? Certo che cambiano. In generale dipende da dove metti il polo, ma dato che hai detto che $\rho$ "è centrato" (sarebbe meglio dire "parte dall'origine", è un segmento) nell'origine stai sottointendendo che il polo coincide con l'origine.
Ma pure intuitivamente: se la circonferenza stesse tutta nel primo quadrante, facciamo che abbia ad esempio raggio $1$ e centro $C=(3,3)$, che ci fai con il settore circolare che va da $\frac{\pi}{2}$ a $2\pi$ in verso antiorario? Ci descrivi punti che non hai bisogno di descrivere? Ti servono solo quelli da $0$ a $\frac{\pi}{2]$.
Quindi non ti è chiaro cosa sono le coordinate polari.
Le coordinate polari sono un sistema di di coordinate nel piano caratterizzate dai seguenti elementi: un punto $O$ detto polo, una semiretta con origine in $O$ che si chiama asse polare e un'unità di misura unitaria.
Quindi prendi un punto $P$ a caso del piano e a questo punto associ due numeri, $\rho$ e $\theta$, che descrivono rispettivamente la distanza tra il polo e il punto $P$ nell'unità di misura scelta e la misura in radianti dell'angolo che l'asse polare forma con il segmento $OP$ in verso antiorario.
Solitamente si prende come polo l'origine e come asse polare l'asse $x$, ma è una scelta del tutto arbitraria.
Quindi come starai sicuramente notando, non è possibile che sia sempre tutto uguale: infatti se il segmento $OP$ parte da $O$ (che è il polo precedentemente scelto) ... non può essere possibile che, cambiando polo, l'angolo sia lo stesso.
E infatti, se prendi la circonferenza di centro $(1,0)$ e raggio $1$ e imposti le coordinate polari con polo nell'origine hai che i punti vengono descritti da $0 \leq \rho\ leq 2 \cos \theta$ e $-\frac{\pi}{2}\leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$, se imposti le coordinate polari con polo nel punto $(1,0)$ hai che la stessa circonferenza si descrive con $0 \leq \rho \leq 1$ e $0 \leq \theta < 2\pi$ (guarda caso come se fosse centrata nell'origine e avessimo scelto il polo coincidente nell'origine, e infatti la circonferenza è la stessa ma traslata in $(1,0)$ e noi abbiamo fatto coincidere il polo con il centro della circonferenza scegliendolo come $(1,0)$).
Tutta questa descrizione diventa quasi ovvia nel momento in cui leggi con attenzione la definizione:
Non può rimanere tutto uguale, perché a poli diversi vengono associate distanze diverse dal polo e angoli diversi (quest'ultimi se non devi descrivere un generico punto del piano ma, come in questo caso, solo una porzione del piano, ovvero un cerchio. Chiaramente se devi descrivere tutto il piano dove metti metti il polo comunque l'angolo dovrà essere giro).
Scusami, ma che razza di corso è?
Cosa studi?1) Non c'entrano i segni, l'integrale doppio è il volume sotteso tra il grafico di $z=f(x,y)$ ed il piano $xy$, invece la misura dell'insieme $A$ (ossia l'area se $A\subset\mathbb{R}^2$) è l'integrale doppio su $A$ della funzione $1$; poi occhio perché quello che dici non ha senso, non dipende solo dal quadrante dell'insieme di integrazione il segno di un integrale. Infatti se integri $-x$ nel primo quadrante ottieni comunque un numero negativo (in sostanza dipende anche dalla funzione, ed infatti $-x$ è negativa nel primo quadrante).
2) Non credo di essere sicuro di aver capito il tuo dubbio. Proprio come se integri in $x$ una funzione dipendente da un parametro $t$ ottieni
$$\int_a^b f(x,t) \text{d}x=g(t)$$
Qui succede lo stesso, quindi non capisco il problema in questo caso. Mentre hai osservato correttamente che rischi di "strabordare", qui non può succedere. Fissato $\theta$, $\rho$ varia tra $0$ e $2 \cos \theta$ e dopo l'integrazione non c'è più dipendenza da $\rho$.
Nell'altro esempio che ti ho fatto (non uso il tuo solo perché è un insieme illimitato e secondo me non aiuta a capire) sì, se scrivi entrambi $0 \leq x \leq 1$ ed $0 \leq y \leq 1$ sbagli perché strabordi dall'insieme, integri su un quadrato invece che su un triangolo.
P.S.: Mi sono scordato di rispondere a questo:
"Lorenzo_99":
sì la circonferenza è completamente a destra, e quindi? Gli angoli sono quelli che si formano con l'asse delle x, perchè dovrebbero variare al cambiare della posizione in cui la circonferenza si trova? Nel senso, non è come $rho$ che è centrato nell'origine e la cui lunghezza varia (giustamente) "allo spostarsi" dei punti della circonferenza.
Scherzi? Certo che cambiano. In generale dipende da dove metti il polo, ma dato che hai detto che $\rho$ "è centrato" (sarebbe meglio dire "parte dall'origine", è un segmento) nell'origine stai sottointendendo che il polo coincide con l'origine.
Ma pure intuitivamente: se la circonferenza stesse tutta nel primo quadrante, facciamo che abbia ad esempio raggio $1$ e centro $C=(3,3)$, che ci fai con il settore circolare che va da $\frac{\pi}{2}$ a $2\pi$ in verso antiorario? Ci descrivi punti che non hai bisogno di descrivere? Ti servono solo quelli da $0$ a $\frac{\pi}{2]$.
Quindi non ti è chiaro cosa sono le coordinate polari.
Le coordinate polari sono un sistema di di coordinate nel piano caratterizzate dai seguenti elementi: un punto $O$ detto polo, una semiretta con origine in $O$ che si chiama asse polare e un'unità di misura unitaria.
Quindi prendi un punto $P$ a caso del piano e a questo punto associ due numeri, $\rho$ e $\theta$, che descrivono rispettivamente la distanza tra il polo e il punto $P$ nell'unità di misura scelta e la misura in radianti dell'angolo che l'asse polare forma con il segmento $OP$ in verso antiorario.
Solitamente si prende come polo l'origine e come asse polare l'asse $x$, ma è una scelta del tutto arbitraria.
Quindi come starai sicuramente notando, non è possibile che sia sempre tutto uguale: infatti se il segmento $OP$ parte da $O$ (che è il polo precedentemente scelto) ... non può essere possibile che, cambiando polo, l'angolo sia lo stesso.
E infatti, se prendi la circonferenza di centro $(1,0)$ e raggio $1$ e imposti le coordinate polari con polo nell'origine hai che i punti vengono descritti da $0 \leq \rho\ leq 2 \cos \theta$ e $-\frac{\pi}{2}\leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$, se imposti le coordinate polari con polo nel punto $(1,0)$ hai che la stessa circonferenza si descrive con $0 \leq \rho \leq 1$ e $0 \leq \theta < 2\pi$ (guarda caso come se fosse centrata nell'origine e avessimo scelto il polo coincidente nell'origine, e infatti la circonferenza è la stessa ma traslata in $(1,0)$ e noi abbiamo fatto coincidere il polo con il centro della circonferenza scegliendolo come $(1,0)$).
Tutta questa descrizione diventa quasi ovvia nel momento in cui leggi con attenzione la definizione:
"Mephlip":
Le coordinate polari sono un sistema di di coordinate nel piano caratterizzate dai seguenti elementi: un punto $O$ detto polo, una semiretta con origine in $O$ che si chiama asse polare e un'unità di misura unitaria.
Quindi prendi un punto $P$ a caso del piano e a questo punto associ due numeri, $\rho$ e $\theta$, che descrivono rispettivamente la distanza tra il polo e il punto $P$ nell'unità di misura scelta e la misura in radianti dell'angolo che l'asse polare forma con il segmento $OP$ in verso antiorario.
Non può rimanere tutto uguale, perché a poli diversi vengono associate distanze diverse dal polo e angoli diversi (quest'ultimi se non devi descrivere un generico punto del piano ma, come in questo caso, solo una porzione del piano, ovvero un cerchio. Chiaramente se devi descrivere tutto il piano dove metti metti il polo comunque l'angolo dovrà essere giro).
"Mephlip":
P.S.: Mi sono scordato di rispondere a questo:
[quote="Lorenzo_99"]sì la circonferenza è completamente a destra, e quindi? Gli angoli sono quelli che si formano con l'asse delle x, perchè dovrebbero variare al cambiare della posizione in cui la circonferenza si trova? Nel senso, non è come $rho$ che è centrato nell'origine e la cui lunghezza varia (giustamente) "allo spostarsi" dei punti della circonferenza.
Scherzi? Certo che cambiano. In generale dipende da dove metti il polo, ma dato che hai detto che $\rho$ "è centrato" (sarebbe meglio dire "parte dall'origine", è un segmento) nell'origine stai sottointendendo che il polo coincide con l'origine.
Ma pure intuitivamente: se la circonferenza stesse tutta nel primo quadrante, facciamo che abbia ad esempio raggio $1$ e centro $C=(3,3)$, che ci fai con il settore circolare che va da $\frac{\pi}{2}$ a $2\pi$ in verso antiorario? Ci descrivi punti che non hai bisogno di descrivere? Ti servono solo quelli da $0$ a $\frac{\pi}{2]$.
Quindi non ti è chiaro cosa sono le coordinate polari.
Le coordinate polari sono un sistema di di coordinate nel piano caratterizzate dai seguenti elementi: un punto $O$ detto polo, una semiretta con origine in $O$ che si chiama asse polare e un'unità di misura unitaria.
Quindi prendi un punto $P$ a caso del piano e a questo punto associ due numeri, $\rho$ e $\theta$, che descrivono rispettivamente la distanza tra il polo e il punto $P$ nell'unità di misura scelta e la misura in radianti dell'angolo che l'asse polare forma con il segmento $OP$ in verso antiorario.
Solitamente si prende come polo l'origine e come asse polare l'asse $x$, ma è una scelta del tutto arbitraria.
Quindi come starai sicuramente notando, non è possibile che sia sempre tutto uguale: infatti se il segmento $OP$ parte da $O$ (che è il polo precedentemente scelto) ... non può essere possibile che, cambiando polo, l'angolo sia lo stesso.
E infatti, se prendi la circonferenza di centro $(1,0)$ e raggio $1$ e imposti le coordinate polari con polo nell'origine hai che i punti vengono descritti da $0 \leq \rho\ leq 2 \cos \theta$ e $-\frac{\pi}{2}\leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$, se imposti le coordinate polari con polo nel punto $(1,0)$ hai che la stessa circonferenza si descrive con $0 \leq \rho \leq 1$ e $0 \leq \theta < 2\pi$ (guarda caso come se fosse centrata nell'origine e avessimo scelto il polo coincidente nell'origine, e infatti la circonferenza è la stessa ma traslata in $(1,0)$ e noi abbiamo fatto coincidere il polo con il centro della circonferenza scegliendolo come $(1,0)$).
Tutta questa descrizione diventa quasi ovvia nel momento in cui leggi con attenzione la definizione:
"Mephlip":
Le coordinate polari sono un sistema di di coordinate nel piano caratterizzate dai seguenti elementi: un punto $O$ detto polo, una semiretta con origine in $O$ che si chiama asse polare e un'unità di misura unitaria.
Quindi prendi un punto $P$ a caso del piano e a questo punto associ due numeri, $\rho$ e $\theta$, che descrivono rispettivamente la distanza tra il polo e il punto $P$ nell'unità di misura scelta e la misura in radianti dell'angolo che l'asse polare forma con il segmento $OP$ in verso antiorario.
Non può rimanere tutto uguale, perché a poli diversi vengono associate distanze diverse dal polo e angoli diversi (quest'ultimi se non devi descrivere un generico punto del piano ma, come in questo caso, solo una porzione del piano, ovvero un cerchio. Chiaramente se devi descrivere tutto il piano dove metti metti il polo comunque l'angolo dovrà essere giro).[/quote]
Col polo adesso ho capito.
"Mephlip":
No, Gauss-Green è un'altra cosa, lega integrali di forme differenziali con integrali doppi; forse ne è un caso particolare, ma mi sembra assurdo introdurlo così.
Scusami, ma che razza di corso è?
Ingegneria - Analisi II. Ma non è il corso, è il professore a cui non è andata giù la riduzione dei crediti (e quindi del programma) quando c'è stato il passaggio da lauree magistrali a triennali.
"Mephlip":
Fissato $\theta$, $\rho$ varia tra $0$ e $2 \cos \theta$ e dopo l'integrazione non c'è più dipendenza da $\rho$.
Sia $theta$ che $rho$ dipendono gli uni dagli altri in realtà: $theta$ dipende da $rho$, essendo $2cos(theta)>=rho$, e $rho$ dipende da $theta$, variando tra $0$ e $2cos(theta)$. Quindi, quando diciamo che $theta$ varia in $[-pi/2, pi/2]$, è come se dicessimo qualcosa che potrebbe risultare sbagliato perchè consideriamo solo $cos(theta)>=0$ invece di $cos(theta)>=rho$.
Se ad esempio avessimo che $rho>=1/2$ e considerassimo solo $cos(theta)>=0$, avremo che $theta$ varia in $[-pi/2, pi/2]$. In questi punti però non è sempre verificata $cos(theta)>=rho=1/2>=0$, cosa che quindi ci farebbe integrare su punti (come $theta=pi/2$) che invece non dovrebbero essere "integrati", non dovrebbero essere considerati nell'integrale.
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