Integrale doppio.
Salve a tutti ho difficoltà a fare questo integrale doppio ossia
\[\iint_D\frac{x}{1+x^2+y^2}\] sul dominio \(D=\left \{ (x,y): x^2+y^2\leq 1 \right \}\)
D rappresenta una circonferenza di centro \((0,0)\) e \(r=1\) .
Impostando le cordinate polari mi ritrovo a dover risolvere
\[\int_{0}^{2\pi }cos(\theta )\int_{0}^{1}\frac{r^2}{1+r^2}\]
E mi viene pari a \(0\).
Dove sbaglio?Grazie mille in anticipo per i suggerimenti.
\[\iint_D\frac{x}{1+x^2+y^2}\] sul dominio \(D=\left \{ (x,y): x^2+y^2\leq 1 \right \}\)
D rappresenta una circonferenza di centro \((0,0)\) e \(r=1\) .
Impostando le cordinate polari mi ritrovo a dover risolvere
\[\int_{0}^{2\pi }cos(\theta )\int_{0}^{1}\frac{r^2}{1+r^2}\]
E mi viene pari a \(0\).
Dove sbaglio?Grazie mille in anticipo per i suggerimenti.
Risposte
ciao! io diciamo che sto agli inizi, ma credo di essere ad un livello medio, vorrei aiutarti (poi spero che qualche admin controlli)
di solito viene 0 quando c'è qualche particolare simmetria, o si ha a che fare con una funzione antisimmetrica integrata lungo un dominio simmetrico....nel nostro caso vedo solo il $cos (\theta)$ che è simmetrica....
il dominio di integrazione pare corretto, anche lo jacobiano, che è $r$.....
$4 \int_[0,\pi/2] cos \theta d\theta [r - arctg r]_[0,1]$
(non so se si può sempre applicare la furbata di spezzare il dominio per quadranti....)
a me verrebbe $4*(arctg 1 - 1)$ negativo....
di solito viene 0 quando c'è qualche particolare simmetria, o si ha a che fare con una funzione antisimmetrica integrata lungo un dominio simmetrico....nel nostro caso vedo solo il $cos (\theta)$ che è simmetrica....
il dominio di integrazione pare corretto, anche lo jacobiano, che è $r$.....
$4 \int_[0,\pi/2] cos \theta d\theta [r - arctg r]_[0,1]$
(non so se si può sempre applicare la furbata di spezzare il dominio per quadranti....)
a me verrebbe $4*(arctg 1 - 1)$ negativo....
L'integrale non può essere uguale a zero ?
Non c'è neanche bisogno di fare calcoli dato che il dominio è simmetrico rispetto all'asse y e che \( f(x,y)=-f(-x,y)\)
Non c'è neanche bisogno di fare calcoli dato che il dominio è simmetrico rispetto all'asse y e che \( f(x,y)=-f(-x,y)\)
Siccome era una prova d'esame di qualche anno fa mi sembrava strano che venisse zero.Per questo ho chiesto.Grazie mile delle risposte.
"commodore64":
L'integrale non può essere uguale a zero ?
Non c'è neanche bisogno di fare calcoli dato che il dominio è simmetrico rispetto all'asse y e che \( f(x,y)=-f(-x,y)\)
quindi basta provare fin dall'inizio che è una funzione simmetrica integrato su dominio simmetrico rispetto a $y$ per dire che è nullo?
io sapevo anche di funzioni antisimmetriche (tipo $x^3$ .... $sin x$) che integrate su dominio simmetrico danno integrale doppio nullo
puoi darmi conferma? grazie
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