Integrale doppio

[ninja986]

Sia $\Omega = {(x, y) in RR^2 | x >= 0, y >= 0, x^2 + y^2 <= 1, y >= 1 − x}$. Si determini il valore del
seguente integrale

$\int_\Omega 2x − 3y^2 dx dy$

Per risolverlo effettuo la sottrazione fra il quarto di cerchio e il triangolo...cioe faccio l'integrale della funzione cambiando le variabili con $\rho$ e $\theta$..poi faccio l'integrale del triangolo siccome è semplice rispetto a x e y...e poi sottraggo il primo al secondo...
E possibile fare questo procedimento??

ottengo alla fine $7/12 - 3/16*\pi $ ....e giusto??

[Lord K]

l'integrale diventa:

$int_0^1 int_0^(pi/2) [2(rho cos theta)-3(rho^2sin^2 theta)]*rho d theta d rho$

$2*int_0^1 int_0^(pi/2) rho^2 cos theta d theta d rho - 3*int_0^1 int_0^(pi/2) rho^3sin^2 theta d theta d rho =2* [sin theta]_0^(pi/2)*int_0^1 rho^2 d rho - 3 * [(rho^4)/4]_0^1*int_0^(pi/2) sin^2 theta d theta = 2/3 - 3/4*int_0^(pi/2) sin^2 theta d theta = 2/3 - 3/4 [1/2(x-sinxcosx)]_0^(pi/2) = 2/3 - 3/8(pi/2) = 2/3-3/16pi$

Controlla ma non credo di aver sbagliato molto.

[ninja986]

si...l'integrale del quarto di cerchio è uguale anche a me...

poi ho fatto l'integrale del triangolo...e mi viene $1/12$...quindi il risultato sara $2/3-3/16*\pi-1/12=7/12 -3/16*\pi$...giusto??