Integrale doppio

[darinter]

Calcolare $int int_T sqrt(x^2 + y^2) dx dy$ dove $T = {(x y) : x^2 + y^2-x-y>=0;x^2 + y^2-2x-2y<=0}$.
Mi viene consigliato di utilizzare le coordinate polari centrate nell'origine,dunque $x=rcost$ e $y=rsent$,il problema è trovare le limitazioni.Ho pensato di sostituire $x$ e $y$ nelle due disequazioni che descrivono il dominio ma arrivo a $r^2-r(cost+sent)>=0$ e $r^2-2r(cost+sent)<=0$,da qui come procedo?Esiste un modo migliore?Ho provato anche a sfruttare il significato geometrico dell'integrale doppio(la funzione integranda è non negativa) e vedere il mio integrale come differenza dell'integrale calcolato nella circonfenza grande e di quello calcolato nella circonferenza più piccola,ma lo stesso escono integrali complicati.

Grazie

[elgiovo]

Fattorizzando $r^2-r(cost+sint)$ ottieni $r(r-cost-sint)$. Il primo fattore descrive una circonferenza degenere, il secondo invece la circonferenza di raggio $sqrt2/2$ centrata in $(1/2,1/2)$. Con un ragionamento analogo trovi l'equazione polare dell'altra circonferenza. Una semplice investigazione visiva ti dice che $t$ varia da $-pi/4$ a $3/4 pi$, da cui l'integrale $int_(-pi/4)^(3/4 pi) int_(cost+sint)^(2(cost+sint))r^2"d"r"d"t=ldots$

[adaBTTLS1]

io sono un po' arruggininita su queste questioni, perché è tanto tempo che non mi capita più di risolvere integrali multipli. però mi sembra che non sia necessario ricorrere alla "traduzione" delle due disequazioni in coordinate polari. nota che il dominio è la differenza di due cerchi (parte compresa tra due circonferenze tangenti internamente nell'origine, che la funzione integranda non rappresenta altro che la distanza dall'origine, che nel cambiamento di coordinate si usano formule standard (mi ricordo che compare un fattore dato dal determinante della matrice di trasformazione, che anche quello è standard). mi verrebbe da dire che le due disequazioni servono solo a dividere l'integrale in due parti (integrale sul cerchio più grande meno integrale su cerchio più piccolo.... l'hai detto anche tu)... prendi i suggerimenti con una buona dose di scetticismo e prova a cercare tra gli appunti ed i libri di testo.... ciao. spero che qualcosa di questa chiacchierata sia stata utile. buon lavoro.