Integrale doppio
Salve a tutti.... ho qualche problema di apprendimento su come risolvere alcuni integrali doppi... più che altro il problema è sulle strategie da adottare per risolverlo... sono piuttosto insicuro su quello che faccio.... se potreste gentilmente confermare o corregere quello che faccio ve ne sarei eternamente grato... un esercizio è questo:
$\int_D\frac{x}{y}dxdy$ con D la parte del primo quadrante compreso fra l'asse delle y, la retta di equazione x=y, la retta di equazione y=1/2 e la retta di equazione y=1
La prima cosa che ho fatto è stato dividere il dominio dell'integrale in due parti
$D_1=\{(x,y)\in R x R\{0\};0\le x\le1/2,1/2\le y\le1\}$
$D_2=\{(x,y)\in R x R\{0\};1/2\le x\le1,1/2\le y\le x\}$
Non sono certo se ho diviso correttamente i domini... ho meglio... non sono sicuro su come ho ridefinito il secondo dominio...
Calcolo i due integrali (li scrivo poichè non sono sicuro del metodo di risoluzione adottato):
$\int_0^{1/2}\int_{1/2}^1\frac{x}{y}dxdy=\displaystyle\int_0^{1/2}[x \ln xy]_{1/2}^1dx=[-1/2x^2 \ln 1/2]_0^{1/2}=-1/8 \ln (1/2)$
Il volume del secondo dominio l'ho trovato nello stesso identico modo... preciso... solo che gli integrali erano definiti tra 1/2 e 1 (quello esterno) e tra 1/2 e x (quello interno)
spero sia esatto... grazie ancora per l'aiuto
$\int_D\frac{x}{y}dxdy$ con D la parte del primo quadrante compreso fra l'asse delle y, la retta di equazione x=y, la retta di equazione y=1/2 e la retta di equazione y=1
La prima cosa che ho fatto è stato dividere il dominio dell'integrale in due parti
$D_1=\{(x,y)\in R x R\{0\};0\le x\le1/2,1/2\le y\le1\}$
$D_2=\{(x,y)\in R x R\{0\};1/2\le x\le1,1/2\le y\le x\}$
Non sono certo se ho diviso correttamente i domini... ho meglio... non sono sicuro su come ho ridefinito il secondo dominio...
Calcolo i due integrali (li scrivo poichè non sono sicuro del metodo di risoluzione adottato):
$\int_0^{1/2}\int_{1/2}^1\frac{x}{y}dxdy=\displaystyle\int_0^{1/2}[x \ln xy]_{1/2}^1dx=[-1/2x^2 \ln 1/2]_0^{1/2}=-1/8 \ln (1/2)$
Il volume del secondo dominio l'ho trovato nello stesso identico modo... preciso... solo che gli integrali erano definiti tra 1/2 e 1 (quello esterno) e tra 1/2 e x (quello interno)
spero sia esatto... grazie ancora per l'aiuto
Risposte
"luca.barletta":
Bastava osservare che $f(x,-y)=-f(x,y)$ e, poiché il dominio di integrazione era simmetrico rispetto all'asse x, l'integrale doppio era nullo.
Attenzione, il significato geometrico dell'integrale doppio è il volume di (...) solo se $f(x,y)>0$. Se invece $f(x,y)$ è di segno qualsiasi allora devi sommare algebricamente i volumi; nella porzione di dominio in cui f è positiva sommi con il +, dove invece f è negativa sommi con il -. Come vedi il risultato può essere nullo.
Ma nel primo quadrante $f(x,y)$ è negativa... quindi non dovrei sommare con il segno - ??? (il che verrebbe $-(-4)+4=8$) o forse non ho afferato bene le tue parole...
No. Allora, il volume è sempre una quantità positiva per definizione. Quindi prendi il volume (4) e gli metti il segno meno davanti.
scusa non mi è chiaro ancora un punto... mettiamo il caso che divido il dominio a metà e lo calcolo separatamente... quindi... una parte del volume lo calcolo con $\theta \in [0,\pi/2]$ e l'altra parte lo calcolo con $\theta \in [-\pi/2,0]$... quello che ottengo è:
Con $\theta \in [0,\pi/2]$ -> il volume è $-4/3$ (Qui $f(x,y)<0$)
Con $\theta \in [-\pi/2,0]$ -> il volume è $4/3$ (Qui $f(x,y)>0$)
quindi... visto che dove $f(x,y)<0$ devo sommare con un - effettivamente il volume diventa positivo $-(-4/3)+4/3$ o no?
perdonami non è per contraddire ma non riesco a comprendere il concetto di un volume uguale a 0...
Con $\theta \in [0,\pi/2]$ -> il volume è $-4/3$ (Qui $f(x,y)<0$)
Con $\theta \in [-\pi/2,0]$ -> il volume è $4/3$ (Qui $f(x,y)>0$)
quindi... visto che dove $f(x,y)<0$ devo sommare con un - effettivamente il volume diventa positivo $-(-4/3)+4/3$ o no?
perdonami non è per contraddire ma non riesco a comprendere il concetto di un volume uguale a 0...
Rileggi i miei 2 post precedenti: il volume è sempre una quantità positiva, quindi non puoi scrivere "il volume è $-4/3$"; avresti dovuto scrivere: il volume è $|-4/3|=4/3$. Successivamente prendi 4/3 con il segno meno, ma questo non è il volume.
E' sbagliato quando affermi "un volume uguale a 0". In realtà è la somma algebrica dei volumi, presi con i segni che li competono, che è uguale a 0.
E' sbagliato quando affermi "un volume uguale a 0". In realtà è la somma algebrica dei volumi, presi con i segni che li competono, che è uguale a 0.
ah ok grazie... pensavo che si sommava con il - proprio per far diventare la quantità positiva.... perfetto...
quindi anche l'integrale di una funzione con dominio compreso tra una circonferenza di equazione $x^2+y^2=4$ e $x^2+y^2-2y=0$ assume valore nullo.... giusto?
quindi anche l'integrale di una funzione con dominio compreso tra una circonferenza di equazione $x^2+y^2=4$ e $x^2+y^2-2y=0$ assume valore nullo.... giusto?
"Bartolomeo":
quindi anche l'integrale di una funzione con dominio compreso tra una circonferenza di equazione $x^2+y^2=4$ e $x^2+y^2-2y=0$ assume valore nullo.... giusto?
e perchè no?
Vorrei avvertire Bartolomeo che,in coordinate polari,e' sempre $rho>0$
Pertanto e' errata la posizione (fatta in un precedente suo post),di $rho in [-2,0]$
karl
Pertanto e' errata la posizione (fatta in un precedente suo post),di $rho in [-2,0]$
karl
ah si giusto... sono piccoli accorgimenti a cui non faccio caso.... grazie
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