Integrale doppio
Salve a tutti.... ho qualche problema di apprendimento su come risolvere alcuni integrali doppi... più che altro il problema è sulle strategie da adottare per risolverlo... sono piuttosto insicuro su quello che faccio.... se potreste gentilmente confermare o corregere quello che faccio ve ne sarei eternamente grato... un esercizio è questo:
$\int_D\frac{x}{y}dxdy$ con D la parte del primo quadrante compreso fra l'asse delle y, la retta di equazione x=y, la retta di equazione y=1/2 e la retta di equazione y=1
La prima cosa che ho fatto è stato dividere il dominio dell'integrale in due parti
$D_1=\{(x,y)\in R x R\{0\};0\le x\le1/2,1/2\le y\le1\}$
$D_2=\{(x,y)\in R x R\{0\};1/2\le x\le1,1/2\le y\le x\}$
Non sono certo se ho diviso correttamente i domini... ho meglio... non sono sicuro su come ho ridefinito il secondo dominio...
Calcolo i due integrali (li scrivo poichè non sono sicuro del metodo di risoluzione adottato):
$\int_0^{1/2}\int_{1/2}^1\frac{x}{y}dxdy=\displaystyle\int_0^{1/2}[x \ln xy]_{1/2}^1dx=[-1/2x^2 \ln 1/2]_0^{1/2}=-1/8 \ln (1/2)$
Il volume del secondo dominio l'ho trovato nello stesso identico modo... preciso... solo che gli integrali erano definiti tra 1/2 e 1 (quello esterno) e tra 1/2 e x (quello interno)
spero sia esatto... grazie ancora per l'aiuto
$\int_D\frac{x}{y}dxdy$ con D la parte del primo quadrante compreso fra l'asse delle y, la retta di equazione x=y, la retta di equazione y=1/2 e la retta di equazione y=1
La prima cosa che ho fatto è stato dividere il dominio dell'integrale in due parti
$D_1=\{(x,y)\in R x R\{0\};0\le x\le1/2,1/2\le y\le1\}$
$D_2=\{(x,y)\in R x R\{0\};1/2\le x\le1,1/2\le y\le x\}$
Non sono certo se ho diviso correttamente i domini... ho meglio... non sono sicuro su come ho ridefinito il secondo dominio...
Calcolo i due integrali (li scrivo poichè non sono sicuro del metodo di risoluzione adottato):
$\int_0^{1/2}\int_{1/2}^1\frac{x}{y}dxdy=\displaystyle\int_0^{1/2}[x \ln xy]_{1/2}^1dx=[-1/2x^2 \ln 1/2]_0^{1/2}=-1/8 \ln (1/2)$
Il volume del secondo dominio l'ho trovato nello stesso identico modo... preciso... solo che gli integrali erano definiti tra 1/2 e 1 (quello esterno) e tra 1/2 e x (quello interno)
spero sia esatto... grazie ancora per l'aiuto
Risposte
In certi casi il cambio di riferimento puo' semplificare i
calcoli,ma nel tuo caso sarebbe un inutile appesantimento.
Trasforma l'integrale passando direttamente a coordinate
polari e vedrai che il risultato e' 3/16.
karl
calcoli,ma nel tuo caso sarebbe un inutile appesantimento.
Trasforma l'integrale passando direttamente a coordinate
polari e vedrai che il risultato e' 3/16.
karl
quindi sia che faccio il cambio di variabili sia che non lo faccia il risultato dovrebbe essere lo stesso... se si fa il cambio di variabili è solo per un fatto di semplicità... ho capito bene?
Ovviamente il cambio di variabili non incide sul risultato che
quello e' e quello rimane.
Come ho gia' detto,passare da un sistema di coordinate ad un altro,
pur non essendo obbligatorio,puo' essere conveniente o no a seconda
dell'esercizio che si deve risolvere.
karl
quello e' e quello rimane.
Come ho gia' detto,passare da un sistema di coordinate ad un altro,
pur non essendo obbligatorio,puo' essere conveniente o no a seconda
dell'esercizio che si deve risolvere.
karl
Grazie... e scusate ancora.. svolgendo mi è venuto un altro dubbio quel $\theta$ lo devo sostituire con $\pi/4$ e $\pi/2$ negli estremi che avete trovato o lascio in quel modo?
io ho svolto così$\int_{\pi/4}^{\pi/2} \int_{1/{2sen\theta}}^{1/{sen\theta}}{\rho cos\theta}/{\rho \sen\theta}\rho d\rho d\theta$
solo che poi mi viene:
$3/8\int_{\pi/4}^{\pi/2}{cos \theta}/{sin\theta}*1/{sin^2\theta}$
e questo non riesco a integrarlo... forse nel definire $\rho$ dovevo mettere dei valori a $\theta$ ?????
io ho svolto così$\int_{\pi/4}^{\pi/2} \int_{1/{2sen\theta}}^{1/{sen\theta}}{\rho cos\theta}/{\rho \sen\theta}\rho d\rho d\theta$
solo che poi mi viene:
$3/8\int_{\pi/4}^{\pi/2}{cos \theta}/{sin\theta}*1/{sin^2\theta}$
e questo non riesco a integrarlo... forse nel definire $\rho$ dovevo mettere dei valori a $\theta$ ?????
Sì che riesci ad integrarlo, è immediato:
$int f'(x)f^n(x)dx$
$int f'(x)f^n(x)dx$
forse avrò sbagliato qualcosa prima ma non me ne accorgo... allora
Per essere un integrale immediato $f(\theta)$ dovrebbe essere $1/sin\theta$ da cui:
- $f^n(\theta)=1/{sin^2\theta}$ con $n=2$; ( e fino a qui nessun problema)
- $f'(\theta)=-{cos\theta}/{sin^2\theta}$ ma a me rimane solo un ${cos\theta}/{sin\theta}$
A me no che non abbia fatto errori di calcolo ora o prima, per essere immediato non avrei dovuto avere $\int {cos\theta)/{sin^4\theta}$ ????
grazie ancora
Per essere un integrale immediato $f(\theta)$ dovrebbe essere $1/sin\theta$ da cui:
- $f^n(\theta)=1/{sin^2\theta}$ con $n=2$; ( e fino a qui nessun problema)
- $f'(\theta)=-{cos\theta}/{sin^2\theta}$ ma a me rimane solo un ${cos\theta}/{sin\theta}$
A me no che non abbia fatto errori di calcolo ora o prima, per essere immediato non avrei dovuto avere $\int {cos\theta)/{sin^4\theta}$ ????
grazie ancora
Ripeto:
$int f'(x)f^n(x)dx$
dove $n=-3$, $f(x)=sinx$ quindi $f'(x)=cosx$
$int f'(x)f^n(x)dx$
dove $n=-3$, $f(x)=sinx$ quindi $f'(x)=cosx$
vero scusa 
"Camillo":
Se trasformi l'equazione della crf in coordinate polari ottieni : $rho^2-2rho*costheta = 0 $, da cui $rho*(rho-2costheta)=0$. dacui $ rho =0 $ e $rho = 2costheta $.
La prima soluzione è l'origine in cui la retta e la crf si intersecano ; la seconda è l'altro punto in cui le due curve si intersecano.
Quindi $ 0<=rho<=2costheta $ e anche $ 0<=theta<=pi/4 $ ok ?
scusa... riguardavo l'esercizio.... non dovrebbe essere $ pi/4<=theta<=pi/2 $ ????
Il dominio va dalla retta $x=y$ (che sarebbe una corda della circonferenza) fino alla curva della circonfernza.... quello che intendo dire è che il dominio è sopra la retta $x=y$ no sotto....
"Bartolomeo":
[quote="Camillo"]Se trasformi l'equazione della crf in coordinate polari ottieni : $rho^2-2rho*costheta = 0 $, da cui $rho*(rho-2costheta)=0$. dacui $ rho =0 $ e $rho = 2costheta $.
La prima soluzione è l'origine in cui la retta e la crf si intersecano ; la seconda è l'altro punto in cui le due curve si intersecano.
Quindi $ 0<=rho<=2costheta $ e anche $ 0<=theta<=pi/4 $ ok ?
scusa... riguardavo l'esercizio.... non dovrebbe essere $ pi/4<=theta<=pi/2 $ ????
Il dominio va dalla retta $x=y$ (che sarebbe una corda della circonferenza) fino alla curva della circonfernza.... quello che intendo dire è che il dominio è sopra la retta $x=y$ no sotto....[/quote]
Hai perfettamente ragione , il bello è che avevo fatto il disegno giusto e poi ho sbagliato a scrivere i limiti di integrazione che sono : $pi/4<= theta<=pi/2$.
Ok grazie ancora...
ho ancora un dubbio su un esercizio.... l'integrale è $\int\int_D 2y(1-x) dx dy$ con D la regione del piano compresa fra le circonferenze di equazioni $x^2+y^2=4$, $x^2+y^2-2x=0$ con $x\ge 0$
Io ho definito così: $\int_{-2}^{2}\int_{\sqrt {4-x^2}}^{\sqrt{ -x^2+2x}} .....$
è corretto?
ho ancora un dubbio su un esercizio.... l'integrale è $\int\int_D 2y(1-x) dx dy$ con D la regione del piano compresa fra le circonferenze di equazioni $x^2+y^2=4$, $x^2+y^2-2x=0$ con $x\ge 0$
Io ho definito così: $\int_{-2}^{2}\int_{\sqrt {4-x^2}}^{\sqrt{ -x^2+2x}} .....$
è corretto?
Non mi sembra ..ma non l'ho guardata bene .
La prima è una crf. di centro l'origine e raggio 2
La seconda crf ha centro in $(1,0) $e raggio = 1.
Fai il disegno.
Io passerei alle coordinate polari avendo come limiti di integrazione :
$0<=theta<=pi/2$
$2*costheta<=rho<=2 $.
Per la simmetria del dominio devi poi moltiplicare per 2 il risulatato ottenuto.
SEO
La prima è una crf. di centro l'origine e raggio 2
La seconda crf ha centro in $(1,0) $e raggio = 1.
Fai il disegno.
Io passerei alle coordinate polari avendo come limiti di integrazione :
$0<=theta<=pi/2$
$2*costheta<=rho<=2 $.
Per la simmetria del dominio devi poi moltiplicare per 2 il risulatato ottenuto.
SEO
forse ho sbagliato qualcosa nel disgno.... ma il dominio non mi sembra simmetrico... la seconda circonferenza sta solo nel primo quadrante...
effettivamente mi hai fatto notare che trovare il volume del dominio che risiede nel II quadrante non è difficile ($\rho \in [-2,0] $ e $\theta \in [\pi/2,\pi]$) .... però per quanto riguarda il volume nel primo quadrante ho ancora difficoltà...
effettivamente mi hai fatto notare che trovare il volume del dominio che risiede nel II quadrante non è difficile ($\rho \in [-2,0] $ e $\theta \in [\pi/2,\pi]$) .... però per quanto riguarda il volume nel primo quadrante ho ancora difficoltà...
Vado troppo di fretta... effettivamente il dominio è simmetrico rispetto all'asse x ( anche la seconda crf. è speculare rispetto all'asse x , avendo il centro in ( 1,0) e il raggio = 1) ma la funzione integranda non è simmetrica e allora bisogna cambiare i limiti di integrazione per $ theta$ che diventano : $-pi/2<=theta<=pi/2$.
il problema è $\rho$ non capisco come lo devo definire nel primo quadrante....
Prendi l'equazione della 2a circ:
$x^2+y^2-2x=0$
Passando alle coordinate polari trovi:
$rho=2costheta$
L'equazione dell'altra circonferenza è $rho=2$.
Pertanto $D={(rho,theta): 2costheta<=rho<=2, -pi/2<=theta<=pi/2 $
oppure puoi evitare di calcolare l'integrale notando subito che è nullo.
$x^2+y^2-2x=0$
Passando alle coordinate polari trovi:
$rho=2costheta$
L'equazione dell'altra circonferenza è $rho=2$.
Pertanto $D={(rho,theta): 2costheta<=rho<=2, -pi/2<=theta<=pi/2 $
oppure puoi evitare di calcolare l'integrale notando subito che è nullo.
Ah si si... perfetto scusate ma avevo sbagliato pure il disegno... ecco perchè non vedevo nessuna simmetria.. me ne sono reso conto solo ora... grazie ancora
"luca.barletta":
oppure puoi evitare di calcolare l'integrale notando subito che è nullo.
ma scusa... come fai a renderti subito conto che è nullo?
Forse ho capito... me ne sono reso conto anchio... dal valore di $\theta$ e dal fatto che la funzione è simmetrica si può capire (almeno mi pare di aver capito così)... ma ho un dubbio... come fa un volume essere pari a 0???
Bastava osservare che $f(x,-y)=-f(x,y)$ e, poiché il dominio di integrazione era simmetrico rispetto all'asse x, l'integrale doppio era nullo.
Attenzione, il significato geometrico dell'integrale doppio è il volume di (...) solo se $f(x,y)>0$. Se invece $f(x,y)$ è di segno qualsiasi allora devi sommare algebricamente i volumi; nella porzione di dominio in cui f è positiva sommi con il +, dove invece f è negativa sommi con il -. Come vedi il risultato può essere nullo.
Attenzione, il significato geometrico dell'integrale doppio è il volume di (...) solo se $f(x,y)>0$. Se invece $f(x,y)$ è di segno qualsiasi allora devi sommare algebricamente i volumi; nella porzione di dominio in cui f è positiva sommi con il +, dove invece f è negativa sommi con il -. Come vedi il risultato può essere nullo.
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