Integrale doppio
Salve a tutti.... ho qualche problema di apprendimento su come risolvere alcuni integrali doppi... più che altro il problema è sulle strategie da adottare per risolverlo... sono piuttosto insicuro su quello che faccio.... se potreste gentilmente confermare o corregere quello che faccio ve ne sarei eternamente grato... un esercizio è questo:
$\int_D\frac{x}{y}dxdy$ con D la parte del primo quadrante compreso fra l'asse delle y, la retta di equazione x=y, la retta di equazione y=1/2 e la retta di equazione y=1
La prima cosa che ho fatto è stato dividere il dominio dell'integrale in due parti
$D_1=\{(x,y)\in R x R\{0\};0\le x\le1/2,1/2\le y\le1\}$
$D_2=\{(x,y)\in R x R\{0\};1/2\le x\le1,1/2\le y\le x\}$
Non sono certo se ho diviso correttamente i domini... ho meglio... non sono sicuro su come ho ridefinito il secondo dominio...
Calcolo i due integrali (li scrivo poichè non sono sicuro del metodo di risoluzione adottato):
$\int_0^{1/2}\int_{1/2}^1\frac{x}{y}dxdy=\displaystyle\int_0^{1/2}[x \ln xy]_{1/2}^1dx=[-1/2x^2 \ln 1/2]_0^{1/2}=-1/8 \ln (1/2)$
Il volume del secondo dominio l'ho trovato nello stesso identico modo... preciso... solo che gli integrali erano definiti tra 1/2 e 1 (quello esterno) e tra 1/2 e x (quello interno)
spero sia esatto... grazie ancora per l'aiuto
$\int_D\frac{x}{y}dxdy$ con D la parte del primo quadrante compreso fra l'asse delle y, la retta di equazione x=y, la retta di equazione y=1/2 e la retta di equazione y=1
La prima cosa che ho fatto è stato dividere il dominio dell'integrale in due parti
$D_1=\{(x,y)\in R x R\{0\};0\le x\le1/2,1/2\le y\le1\}$
$D_2=\{(x,y)\in R x R\{0\};1/2\le x\le1,1/2\le y\le x\}$
Non sono certo se ho diviso correttamente i domini... ho meglio... non sono sicuro su come ho ridefinito il secondo dominio...
Calcolo i due integrali (li scrivo poichè non sono sicuro del metodo di risoluzione adottato):
$\int_0^{1/2}\int_{1/2}^1\frac{x}{y}dxdy=\displaystyle\int_0^{1/2}[x \ln xy]_{1/2}^1dx=[-1/2x^2 \ln 1/2]_0^{1/2}=-1/8 \ln (1/2)$
Il volume del secondo dominio l'ho trovato nello stesso identico modo... preciso... solo che gli integrali erano definiti tra 1/2 e 1 (quello esterno) e tra 1/2 e x (quello interno)
spero sia esatto... grazie ancora per l'aiuto
Risposte
Se ho capito bene come è fatto il dominio allora ti conviene integrare prima in x e poi in y:
$int_(1/2)^1(int_0^y x dx)1/ydy$
Gli integrali sono immediati, il risultato è $3/16$.
$int_(1/2)^1(int_0^y x dx)1/ydy$
Gli integrali sono immediati, il risultato è $3/16$.
il dominio è in pratica un trapeziocon vertici nei seguenti punti:
A=(0,1), B=(1,1), C=(1/2,1/2), D=(0,1/2)
A=(0,1), B=(1,1), C=(1/2,1/2), D=(0,1/2)
allora avevo capito bene
senza bisogno di dividere il dominio?
No, non hai bisogno di dividere il dominio: mentre y spazza da 1/2 a 1, x spazza da 0 a y. Il dominio D è normale rispetto all'asse x.
Comunque quel metodo sarebbe sbagliato o potrebbe anche andare (lasciando stare che mi sono complicato la vita) ???
i due risultati dovrebbero combaciare... penso... il tuo è circa 0,1875 mentre il mio è circa 0,21.... è solo un caso o il mio è proprio sbagliato?
i due risultati dovrebbero combaciare... penso... il tuo è circa 0,1875 mentre il mio è circa 0,21.... è solo un caso o il mio è proprio sbagliato?
Il dominio $D_2$ è sbagliato, sarebbe così:
$D_2=\{(x,y)\in RR^2:1/2\le x\le1,x\le y\le 1\}$
$D_2=\{(x,y)\in RR^2:1/2\le x\le1,x\le y\le 1\}$
a me viene $-1/4 ln(1/2) +3/16$ dov è che sbaglio?
$int_(D_1) f(x,y) dxdy + int_(D_2) f(x,y) dxdy = (ln2/8) + (3/16-ln2/8) = 3/16$
ah grazie a me $D_1$ veniva negativo... comunque il metodo che mi ha detto ora è interessante piuttosto semplice... non sapevo che potevo inziare a integrare da x....
sto trovando notevoli diffcoltà invece nello svolgere questo esercizio.... è sempre un integrale doppio con il dominio definito tra il cerchio di equazione $x^2+y^2-2x=0$ e la retta di equazione $x=y$ con x e y maggiori di 0.... quindi il dominio è contenuto solo nel primo quadrante.... quindi io ho scritto:
$\int\int_D x/y dxdy$ con $D={(x,y) \in R x R-{0}:x^2+y^2-2x\le 0, x\ge y; x\ge 0, y\ge 0}$
Allora io ho provato a trasformare in coordinate polari però non capisco tra quali valori definire $\rho$
Oppure forse mi conviene lasciare stare le coordinate polari in questo caso e risolvere in altro modo???
Vi ringrazio per l'aiuto e i consigli...
$\int\int_D x/y dxdy$ con $D={(x,y) \in R x R-{0}:x^2+y^2-2x\le 0, x\ge y; x\ge 0, y\ge 0}$
Allora io ho provato a trasformare in coordinate polari però non capisco tra quali valori definire $\rho$
Oppure forse mi conviene lasciare stare le coordinate polari in questo caso e risolvere in altro modo???
Vi ringrazio per l'aiuto e i consigli...
Se trasformi l'equazione della crf in coordinate polari ottieni : $rho^2-2rho*costheta = 0 $, da cui $rho*(rho-2costheta)=0$. dacui $ rho =0 $ e $rho = 2costheta $.
La prima soluzione è l'origine in cui la retta e la crf si intersecano ; la seconda è l'altro punto in cui le due curve si intersecano.
Quindi $ 0<=rho<=2costheta $ e anche $ pi/4<=theta<=pi/2 $ ok ?
Edit : corretti estremi di integrazione
La prima soluzione è l'origine in cui la retta e la crf si intersecano ; la seconda è l'altro punto in cui le due curve si intersecano.
Quindi $ 0<=rho<=2costheta $ e anche $ pi/4<=theta<=pi/2 $ ok ?
Edit : corretti estremi di integrazione
tutto qui??? 
$\int_0^{\pi/4} \int_0^{2cos\theta}$... ?????
Meno male che ho chiesto conferma allora.... mi avevano fatto definire $\rho \in [1, 1/(\sqrt 2 cos(\theta+5/4\pi)]$ e come forse puoi immaginare ero entrato nel panico più assoluto quando ho provato a integrare....
poi per una conferma... prima di trasformare in coordinate polari... devo centrare il centro della circonferenza nell'origine???
cioè
$\int\int_D x/y dxdy$ eguaglio $ t=x-1 $
e l'integrale diventa
$\int\int_D {t+1}/y dtdy$
e solo ora posso trasformare in coordinate polari....
è corretto???
$\int_0^{\pi/4} \int_0^{2cos\theta}$... ?????
Meno male che ho chiesto conferma allora.... mi avevano fatto definire $\rho \in [1, 1/(\sqrt 2 cos(\theta+5/4\pi)]$ e come forse puoi immaginare ero entrato nel panico più assoluto quando ho provato a integrare....
poi per una conferma... prima di trasformare in coordinate polari... devo centrare il centro della circonferenza nell'origine???
cioè
$\int\int_D x/y dxdy$ eguaglio $ t=x-1 $
e l'integrale diventa
$\int\int_D {t+1}/y dtdy$
e solo ora posso trasformare in coordinate polari....
è corretto???
"luca.barletta":
Se ho capito bene come è fatto il dominio allora ti conviene integrare prima in x e poi in y:
$int_(1/2)^1(int_0^y x dx)1/ydy$
Gli integrali sono immediati, il risultato è $3/16$.
C'è un problema.... questo integrale lo dovrei risolvere anche trasformando in coordinate polari.... ma non riesco a definire $\rho$
$\theta \in [\pi/4,\pi/2]$
$\rho \in [1/2, ????]$
graize ancora
Per trovare l'espressione degli estremi di $rho$ fissa un angolo del dominio $theta=bartheta$ e considera i due triangoli che si formano con le rette di equazione $y=1/2$ e $y=1$, l'asse y e la semiretta che spicca dall'origine a formare l'angolo $bartheta$ con l'asse x. I valori di $rho_1$ e $rho_2$ che stai cercando non sono altro che le misure delle ipotenuse dei 2 triangoli formati:
$rho_1=1/(2sinbartheta)$
$rho_2=1/(sinbartheta)$
Dunque $rho in [rho_1,rho_2]$
$rho_1=1/(2sinbartheta)$
$rho_2=1/(sinbartheta)$
Dunque $rho in [rho_1,rho_2]$
Perdonami... ma non ho capito bene come trovo i 2 triangoli...
Allora: disegna la semiretta che parte da O e che forma l'angolo di $bartheta$ con l'asse x. Se hai già tracciato il dominio noti che si formano 2 triangoli simili, uno piccolo e uno grande. Quello piccolo lo formi con la retta di equazione $y=1/2$, quello grande con la retta di eq $y=1$. (Entrambi i triangoli si chiudono sull'asse y)
Luca dice bene ma ,se vuoi, puoi considerare la cosa da
quest'altro punto di vista.
Le equazioni delle rette y=1/2 e y=1,in coordinate polari
diventano:
$rhosintheta=1/2,rhosintheta=1$
da cui:
$rho =1/(2sintheta),rho =1/sintheta$
Un punto generico del dominio (che e' poi un trapezio) avra'
la $rho$ compresa tra questi valori:
$1/(2sintheta)<=rho<=1/(sintheta)$
Nel passare a coordinate polari ricordati dello Jacobiano!!
karl
quest'altro punto di vista.
Le equazioni delle rette y=1/2 e y=1,in coordinate polari
diventano:
$rhosintheta=1/2,rhosintheta=1$
da cui:
$rho =1/(2sintheta),rho =1/sintheta$
Un punto generico del dominio (che e' poi un trapezio) avra'
la $rho$ compresa tra questi valori:
$1/(2sintheta)<=rho<=1/(sintheta)$
Nel passare a coordinate polari ricordati dello Jacobiano!!
karl
Ah ok vi ringrazio... ho compreso tutto... anche il fatto dei 2 triangoli...
Ah no scusate invece... un' ultimissima domanda... prima di trasformare in coordinate polari devo portare il trapezio all'origine degli assi con un cambio di variabili???
Per quanto riguardava un cerchio un mio collega mi ha fatto fare così (vedere sopra per capire l'esercizio a cui mi riferisco)
Per quanto riguardava un cerchio un mio collega mi ha fatto fare così (vedere sopra per capire l'esercizio a cui mi riferisco)
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